Catatan si Jay

November 8, 2010

[Mengapa oh Mengapa] Sulap Tanggal Lahir

Filed under: Brain Teaser, Matematika — Hendra Jaya @ 8:02 am

Sulap tanggal lahir adalah sulap matematis yang sangat populer. Sulap ini biasanya meminta “korban” untuk melakukan beberapa operasi matematika sederhana terkait dengan tanggal/bulan/tahun lahirnya. Di akhir sulap, korban akan diminta untuk memberikan angka hasil perhitungannya. Setelah menerima angka tersebut, abrakadabra pun terjadi. Sang pesulap mampu menebak dengan tepat tanggal/bulan/tahun lahir korban.

Artikel ini ditulis untuk menjelaskan, secara matematis tentunya, mengapa “Sulap Tanggal Lahir” dapat dilakukan.

Referensi

Ada banyak sekali metode untuk melakukan sulap tanggal lahir. Berikut ini penulis sajikan dua buah di antaranya.

Sulap 1

  • Kalikan tanggal lahir anda dengan 4, simpan hasilnya.
  • Tambahkan angka tersebut dengan 13, simpan hasilnya.
  • Kalikan angka tersebut dengan 25, simpan hasilnya.
  • Kurangi angka tersebut dengan 200, simpan hasilnya.
  • Tambahkan bulan lahir anda pada angka tersebut, simpan hasilnya.
  • Kalikan angka tersebut dengan 2, simpan hasilnya.
  • Kurangi angka tersebut dengan 40, simpan hasilnya.
  • Kalikan angka tersebut dengan 50, simpan hasilnya.
  • Tambahkan dua digit tahun kelahiran anda pada angka tersebut, simpan hasilnya

Pesulap lalu meminta angka tersebut dan melakukan operasi berikut :

  • Angka yang diperoleh dikurangi 10500
  • Sisanya adalah tanggal lahir korban dalam format “ddmmyy”

Sebagai contoh, penulis akan ambil tanggal lahir dedek tersayang :oops:, yaitu 17 Oktober 1985 (Bentuk lain : 17-10-1985)

  • Kalikan tanggal lahir dengan 4. Angka = 17 x 4 = 68
  • Tambahkan dengan 13. Angka = 68 + 13 = 81
  • Kalikan dengan 25. Angka = 81 x 25 = 2025
  • Kurangi dengan 200. Angka = 2025 – 200 = 1825
  • Tambahkan bulan lahir. Angka = 1825 + 10 = 1835
  • Kalikan dengan 2. Angka = 1835 x 2 = 3670
  • Kurangi dengan 40. Angka = 3670 – 40 = 3630
  • Kalikan dengan 50. Angka = 3630 x 50 = 181500
  • Tambahkan 2 digit tahun lahir. Angka = 181500 + 85 = 181585

Korban lalu memberikan angka 181585 ini kepada pesulap dan pesulap pun (secara diam-diam) melakukan :

  • Kurangi dengan 10500. Angka = 181585 – 10500 = 171085
  • Angka ini lalu dipecah-pecah menjadi 3 bagian, yaitu 17-10-85

Abrakadabra pun terjadi. Pesulap tinggal mengatakan “Saudari Nurul, benarkah anda lahir pada tanggal 17, bulan 10 tahun 85?”

Sulap 2

  • Kalikan tanggal lahir anda dengan 5, lalu simpan hasilnya.
  • Tambahkan angka tersebut dengan 5, simpan hasilnya.
  • Kalikan angka tersebut dengan 20, simpan hasilnya.
  • Kurangi angka tersebut dengan 85, simpan hasilnya. (Dimodifikasi sedikit oleh penulis)
  • Tambahkan bulan lahir anda pada angka tersebut, simpan hasilnya.
  • Kalikan angka tersebut dengan 2, simpan hasilnya.
  • Kurangi angka tersebut dengan 60, simpan hasilnya.
  • Kalikan angka tersebut dengan 50, simpan hasilnya.
  • Tambahkan 2 digit terakhir tahun kelahiran anda pada angka tersebut, simpan hasilnya.

Pesulap lalu meminta angka tersebut dan melakukan operasi berikut :

  • Angka yang diperoleh ditambah dengan 1500
  • Sisanya adalah tanggal lahir korban dalam format “ddmmyy”

Catatan : Penulis – dengan sengaja – memodifikasi sulap 2 agar sedikit lebih singkat. Pada versi asli (lih. referensi), dilakukan satu buah “pengurangan dengan 100” lalu “penambahan dengan 15”. Kedua operasi aritmatika ini penulis sederhanakan menjadi satu buah “pengurangan dengan 85”.

Masih dengan contoh yang sama, yaitu tanggal lahir dedek tersayang :oops:, 17 Oktober 1985 alias 17-10-1985.

  • Kalikan tanggal lahir anda dengan 5. Angka = 17 x 5 = 85
  • Tambahkan dengan 5. Angka = 85 + 5 = 90
  • Kalikan dengan 20. Angka = 90 x 20 = 1800
  • Kurangi dengan 85. Angka = 1800 – 85 = 1715
  • Tambahkan bulan lahir anda. Angka = 1715 + 10 = 1725
  • Kalikan dengan 2. Angka = 1725 x 2 = 3450
  • Kurangi dengan 60. Angka = 3450 – 60 = 3390
  • Kalikan dengan 50. Angka = 3390 x 50 = 169500
  • Tambahkan 2 digit terakhir tahun lahir anda. Angka = 169500 + 85 = 169585

Tanpa curiga, korban memberitahukan angka 169585 ini kepada pesulap dan pesulap pun langsung melakukan :

  • Tambahkan dengan 1500. Angka = 169585 + 1500 = 171085
  • Memecah angka ini menjadi 3 bagian, yaitu 17-10-85

Abrakadabra pun terjadi. Dengan sedikit acting, pesulap berujar “Sepertinya ada kesalahan disini… Tanggal lahir saudari Nurul adalah 17 Oktober 1985. Benarkah begitu?”

Pra-Pembahasan

Tanggal lahir adalah x
Bulan lahir adalah y
Dua digit terakhir tahun lahir adalah z
Angka yang dihitung oleh korban adalah m
Nilai m yang sudah “dimanipulasi” oleh pesulap adalah n

Aljabar Sulap 1

\begin{array}{rlll}m&=&4x&\mbox{Kalikan tanggal lahir dengan 4}\\m&=&4x+13&\mbox{Tambahkan dengan 13}\\m&=&25.(4x+13)&\mbox{Kalikan dengan 25}\\&=&100x+325\\m&=&100x+125&\mbox{Kurangi dengan 200}\\m&=&100x+y+125&\mbox{Tambahkan bulan lahir}\\m&=&2.(100x+y+125)&\mbox{Kalikan dengan 2}\\&=&200x+2y+250\\m&=&200x+2y+210&\mbox{Kurangi dengan 40}\\m&=&50.(200x+2y+210)&\mbox{Kalikan dengan 50}\\&=&10000x+100y+10500\\m&=&10000x+100y+z+10500&\mbox{Tambahkan 2 digit terakhir tahun lahir}\\n&=&10000x+100y+z&\mbox{Kurangi dengan 10500}\end{array}

Aljabar Sulap 2

\begin{array}{rlll}m&=&5x&\mbox{Kalikan tanggal lahir dengan 5}\\m&=&5x+5&\mbox{Tambahkan 5}\\m&=&20.(5x+5)&\mbox{Kalikan dengan 20}\\&=&100x+100\\m&=&100x+15&\mbox{Kurangi dengan 85}\\m&=&100x+y+15&\mbox{Tambahkan bulan lahir}\\m&=&2.(100x+y+15)&\mbox{Kalikan dengan 2}\\&=&200x+2y+30\\m&=&200x+2y-30&\mbox{Kurangi dengan 60}\\m&=&50.(200x+2y-30)&\mbox{Kalikan dengan 50}\\&=&10000x+100y-1500\\m&=&10000x+100y+z-1500&\mbox{Tambahkan 2 digit terakhir tahun lahir}\\n&=&10000x+100y+z&\mbox{Tambahkan 1500}\end{array}

Pembahasan

Angka yang saat ini dipegang oleh pesulap, yaitu n, me-representasikan tanggal-bulan-tahun lahir si korban dalam format “ddmmyy”.
Berikut penjelasannya :

Misalkan X adalah sebuah bilangan 2 digit, dimana digit pertama adalah X_1 dan digit kedua adalah X_2. Secara matematis \overline{X}=10.X_1+X_2

Misalkan Y adalah sebuah bilangan 2 digit, dimana digit pertama adalah Y_1 dan digit kedua adalah Y_2. Secara matematis \overline{Y}=10.Y_1+Y_2

Digit pertama pada Z kita namai Z_1 dan digit kedua kita namai Z_2. Secara matematis \overline{Z}=10.Z_1+Z_2

Akan kita peroleh :

\begin{array}{lll}n&=&10000x+100y+z\\n&=&10000(10.x_1+x_2)+100(10.y_1+y_2)+(10.z_1+z_2)\\n&=&100000x_1+10000x_2+1000.y_1+100y_2+10.z_1+z_2\end{array}

Jika di-representasikan dalam penjumlahan akan berbentuk seperti :

\begin{array}{ccccccr}X_1&0&0&0&0&0\\&X_2&0&0&0&0\\&&Y_1&0&0&0\\&&&Y_2&0&0\\&&&&Z_1&0\\&&&&&Z_2\\-&-&-&-&-&-&+\\X_1&X_2&Y_1&Y_2&Z_1&Z_2\end{array}

Sekarang, karena :

\overline{X} adalah tanggal lahir
\overline{Y} adalah bulan lahir
\overline{Z} adalah 2 digit terakhir tahun lahir

Maka nilai n akan secara tegas menyatakan tanggal-bulan-tahun lahir si korban dalam format “ddmmyy”. Pesulap hanya perlu membacakannya dengan sedikit berpura-pura terkejut 🙂

Bagaimana jika tanggal/bulan/tahun lahir adalah bilangan 1 digit?

Tidak ada masalah

Jika tanggal lahir adalah bilangan 1 digit, maka nilai n yang semula berupa bilangan 6 digit, kini akan berbentuk bilangan 5 digit. Sedikit lebih jauh, jumlah digit pada n hanya bergantung kepada tanggal lahir. Seorang pesulap yang handal pasti sudah menyadari hal ini.

Jika bulan lahir adalah bilangan 1 digit, maka bilangan yang dihasilkan tidak berubah digit-nya. Satu-satunya dampak yang perlu disadari hanyalah digit ke-4 dari kanan, yakni Y_1, bernilai 0.

Jika tahun lahir adalah bilangan 1 digit-pun tidak ada masalah. Sama seperti sebelumnya, satu-satunya efek yang timbul hanyalah digit ke-2 dari kanan, yakni Z_1, bernilai 0.

Untuk tahun lahir kita ambil contoh z=\overline{01}.

Dalam ilmu matematika yang “buta”, kita tidak bisa memastikan apakah \overline{01} bermakna 1801 atau 1901, 2001 dan seterusnya. Hal ini wajar mengingat bilangan-bilangan …, 1801, 1901, 2001,… semuanya kongruen dengan \overline{01} dalam modulo 100. Tetapi, selisih 1 abad jelas memberikan efek fisik yang kuat. Seseorang yang lahir di tahun 1901 jelas akan terlihat “berbeda” dengan orang yang lahir di tahun 2001. Untuk membedakannya tentu bukan perkara yang sulit.

Math Magic

Oktober 20, 2010

Pertidaksamaan Garam

Filed under: Brain Teaser, Matematika, Pertidaksamaan — Hendra Jaya @ 5:16 am

wadah

Cerita

Wadah 1, dengan kapasitas b liter, diisi dengan garam sebanyak a sendok.
Wadah 2, dengan kapasitas d liter, diisi dengan garam sebanyak c sendok.
Kedua wadah terisi penuh dengan air lalu diaduk sehingga garam larut.

Kadar ke-asin-an air di wadah 1 dinyatakan dengan K_1=\frac{a}{b} dan ke-asin-an air di wadah 2 dinyatakan dengan K_2=\frac{c}{d}.
Keduanya dalam satuan yang sama, yaitu \frac{\text{sendok}}{\text{liter}}.

Asumsikan air di wadah 2 lebih asin air di wadah 2, yakni K_1<K_2.

Wadah 3, dengan kapasitas b+d liter, cukup untuk menampung air di wadah 1 dan wadah 2.

Air di wadah 1 dan di wadah 2 keduanya dituangkan ke wadah 3 lalu diaduk hingga rata. Sekarang, kita dapatkan konsentrat (kadar ke-asin-an) garam yang baru, yaitu K_3.

Pertanyaan

  1. Nyatakan konsentrat K_3 dalam variabel-variabel a, b, c dan d.
  2. Bagaimana relasi K_3 terhadap K_1 dan K_2?
  3. Carilah bilangan rasional \frac{a}{b} yang memenuhi \frac{1}{4}<\frac{a}{b}<\frac{1}{3} dengan syarat b<10. Tentu saja a,b\in\mathbb{Z}.
  4. Carilah bilangan rasional \frac{m}{n} yang memenuhi \frac{7}{10}<\frac{m}{n}<\frac{5}{7} dengan syarat n<20. Tentu saja m,n\in\mathbb{Z}.

Pembahasan

  1. Konsentrat yang baru K_3 berasal dari air sebanyak b+d liter dan garam sebanyak a+c sendok. Sehingga K_3=\frac{a+c}{b+d}.
  2. Secara intuitif, karena konsentrat 2 lebih asin dari konsentrat 1, yaitu K_1<K_2, maka konsentrat 3 (campuran) akan lebih asin dari konsentrat 1 tetapi kalah asin dari konsentrat 2. Secara matematis K_1<K_3<K_2.
    Jika kita tampilkan pertidaksamaan dalam bentuk a, b, c dan d akan kita peroleh \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}.
    Perhatikan baik-baik pembilang dan penyebut dari setiap bagian pertidaksamaan. Menarik bukan?
  3. Bilangan rasional yang “diapit” oleh \frac{1}{4} dan \frac{1}{3} dapat dicari dengan cara menjumlahkan pembilang dan menjumlahkan penyebut.
    Sehingga \frac{a}{b}=\frac{1+1}{4+3}=\frac{2}{7}.
    Tentu saja pertidaksamaan \frac{1}{4}<\frac{2}{7}<\frac{1}{3} ini benar.
  4. Dengan cara yang sama, kita peroleh \frac{m}{n}=\frac{7+5}{10+7}=\frac{12}{17}.
    Tentu saja pertidaksamaan \frac{7}{10}<\frac{12}{17}<\frac{5}{7} valid.

Pertidaksamaan \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d} berlaku umum dengan syarat a,b,c,d>0 dan a,b,c,d\in\mathbb{R}. Pembuktiannya diserahkan kepada pembaca. Selamat mencoba.

Sex Discrimination

Oktober 18, 2010

Berani Taruhan?

Filed under: Brain Teaser, Matematika, Peluang — Hendra Jaya @ 3:53 am

Problem

Di dalam sebuah kelompok yang terdiri dari 50 orang secara acak.
Berapa peluang, minimal 2 orang, dari anggota kelompok ini memiliki tanggal dan bulan lahir yang sama (abaikan tahun lahir)?

Di-dedikasikan untuk : Dedek tercinta :oops:, Nurul Retno Nurwulan yang ulang tahun tepat satu hari sebelum artikel ini ditulis.

Pembahasan

Jika A = “Tidak ada dari ke-50 orang ini yang tanggal lahirnya kembar”
Maka B = “Ada, minimal dua orang, dari 50 orang ini yang tanggal lahirnya kembar”
Relasi antara A dan B adalah : B=\neg A. Baca : B adalah negasi dari A.

Perhatikan bahwa Brain Teaser ini meminta kita untuk mencari peluang B, bukan peluang A.

Sekarang, jika :

P_{50} : “Peluang 50 dari ke-50 orang ini tanggal lahirnya kembar”
P_{49} : “Peluang 49 dari ke-50 orang ini tanggal lahirnya kembar”
P_{48} : “Peluang 48 dari ke-50 orang ini tanggal lahirnya kembar”

P_{2} : “Peluang 2 dari ke-50 orang ini tanggal lahirnya kembar”
P_{1} : “Peluang 1 dari ke-50 orang ini tanggal lahirnya kembar” alias “tidak ada yang tanggal lahirnya kembar”

Maka P_{1}+P_{2}+P_{3}+...+P_{48}+P_{49}+P_{50}=1.

Lebih jauh lagi :

\begin{array}{lll}A&=&P_{1}\\B&=&P_{2}+P_{3}+...+P_{48}+P_{49}+P_{50}\\&=&1-A\end{array}

Jika kita asumsikan 1 tahun = 365 hari.
Isi kelompok = 0 orang. Peluang tanggal lahir orang pertama belum “muncul” adalah \frac{365}{365}
Isi kelompok = 1 orang. Peluang tanggal lahir orang kedua belum “muncul” adalah \frac{364}{365}
Isi kelompok = 2 orang. Peluang tanggal lahir orang ketiga belum “muncul” adalah \frac{363}{365}
Isi kelompok = 3 orang. Peluang tanggal lahir orang keempat belum “muncul” adalah \frac{362}{365}

Isi kelompok = 48 orang. Peluang tanggal lahir orang ke-empatpuluhsembilan belum “muncul” adalah \frac{317}{365}
Isi kelompok = 49 orang. Peluang tanggal lahir orang ke-limapuluh belum “muncul” adalah \frac{316}{365}

Peluang kejadian ini (A) terjadi adalah \frac{365}{365}.\frac{364}{365}.\frac{363}{365}.\frac{362}{365}...\frac{317}{365}.\frac{316}{365}=0.02962642042201160

Dengan demikian peluang munculnya kejadian B adalah : B=1-A=1-0.02962642042201160=0.97037357957798840
Atau jika dinyatakan dalam persentase, peluang munculnya kejadian B adalah 97.04%
Atau jika dinyatakan dalam istilah sehari-hari : “Dalam 100 kali taruhan, saya akan menang sekitar 97 kali!”.

Intermezzo

Jika pembaca bertaruh sebanyak 100 kali setiap harinya, dengan besaran Rp. 1.000 tiap putaran. Maka pembaca sangat mungkin membawa pulang uang sekitar 90 ribu tiap harinya (anggap saja kalah 5 kali). Jika kegiatan ini pembaca lakukan setiap harinya, maka dalam satu bulan pembaca akan menghasilkan uang sekitar Rp. 2.700.000. Angka ini – setahu penulis – lebih besar dari gaji PNS golongan 3A di daerah manapun departemen apapun di Indonesia.

Sangat sulit dipercaya. Tetapi angka-angka ini tidak direkayasa dan murni matematika. Tanpa trik.

Peringatan Penulis : Berjudi itu dilarang oleh pemerintah dan agama.

Lottery

Oktober 16, 2010

Pulau Rambut

Filed under: Brain Teaser — Hendra Jaya @ 2:26 pm

Problem

Alkisah ada seorang ahli statistik terdampar di sebuah pulau. Namanya pulau rambut.
Setelah beberapa lama hidup bersama warga di pulau tersebut, beliau melakukan survey terhadap seluruh penduduk pulau dan menemukan fakta-fakta sebagai berikut :

  1. Banyaknya rambut setiap penduduk berbeda-beda.
    Sebagai contoh, banyaknya rambut Ali ada 40, banyaknya rambut Badu ada 17 dan banyaknya rambut Cokro 26.
  2. Tidak ada penduduk dengan rambut sebanyak 178. Lebih boleh, kurang juga boleh.
  3. Jumlah penduduk lebih banyak daripada rambut siapapun di pulau itu.
    Sebagai contoh, jika diketahui rambut Ali ada 40, maka jumlah penduduk pasti lebih dari 40.
    Contoh lainnya, jika diketahui rambut Badu ada 17, maka jumlah penduduk pasti lebih dari 17.

Pertanyaan : Berapakah jumlah penduduk maksimal di pulau tersebut?

Pembahasan

Kita mulai dari mengurutkan banyaknya rambut setiap penduduk, mulai dari yang paling sedikit sampai yang paling banyak (well-order).

Misalkan urutan rambut penduduk adalah sebagai berikut : 7, 29, 49, 51, 60, 65, 66, 67, …

Dengan menerima permisalan ini, maka pembaca yang jeli seharusnya menyadari bahwa terjadi kejar-mengejar antara rambut dan jumlah penduduk, dimana jumlah penduduk tidak mungkin menang. Penjelasannya adalah sebagai berikut :

Pada saat kita nyatakan bilangan pertama adalah 7, jumlah penduduk adalah 1.
Selanjutnya, pada bilangan kedua, yaitu 29, jumlah penduduk adalah 2.
Sementara warga ketiga memiliki jumlah rambut 49 dan seterusnya….

Hal ini menyalahi fakta ketiga bahwa “jumlah penduduk lebih banyak daripada rambut siapapun”.

Mengapa “balapan” antara jumlah penduduk dan rambut tidak mungkin dimenangkan oleh jumlah penduduk? Karena, untuk mencapai kemenangan, jumlah penduduk harus ditambah dan konsekuensinya, deret pun akan semakin dipenuhi oleh angka-angka yang semakin membesar. Ingat, bahwa deret di atas diurutkan mulai dari yang terkecil dan banyaknya rambut tiap-tiap penduduk berbeda-beda.

Sekarang, permasalahannya telah berganti menjadi “Bagaimana memenangkan jumlah penduduk pada balapan?” Sederhana saja, deret rambut  harus “mengalah” dalam balapan.

Bagaimana caranya jumlah rambut “mengalah”? Dengan memberikan angka sekecil mungkin agar dapat dikalahkan oleh deret jumlah penduduk. Ingat, bahwa dalam balapan, deret jumlah penduduk pasti berupa angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, …, yaitu deret hitung.

Karena deret jumlah penduduk telah fixed berupa deret hitung, maka deret rambut haruslah deret lain yang “lebih kecil” dari deret hitung, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5… Yaitu deret bilangan cacah.

Setelah mengetahui bahwa deret rambut penduduk pasti berupa deret bilangan cacah, yaitu 0, 1, 2, 3, …N. Maka langkah berikutnya menjadi jauh lebih mudah. Sesuai fakta, karena tidak ada penduduk yang memiliki rambut sebanyak 178, maka deret bilangan cacah tersebut pasti berakhir di N < 178. Dimana nilai N maksimum yang mungkin terjadi adalah 177.

Pada saat N = 177, maka jumlah penduduk adalah 178 (deret dimulai dari 0, demi memenangkan deret jumlah penduduk dalam balapan). Dan dengan demikian, jumlah penduduk di pulau tidak mungkin lebih besar dari 178.

Just The Way You Like It

September 30, 2010

Surti & Tejo

Filed under: Brain Teaser — Hendra Jaya @ 4:57 am

Soal

Surti dan Tejo adalah kakak beradik. Agar lebih fasih dalam berbahasa Inggris, Surti mengikuti kursus Bahasa Inggris di LINA. Setiap harinya, kursus dimulai pukul 18.00 dan berakhir pukul 21.00. Karena Tejo tidak suka melihat Surti naik kendaraan umum malam-malam, Tejo berjanji untuk menjemput Surti setiap harinya.

Agar bisa menjemput Surti tepat waktu (pukul 21.00), Tejo harus berangkat dari rumah pukul 20.00. Sama seperti berangkat, perjalanan pulang dari LINA sampai ke rumah pun membutuhkan waktu 1 jam. Sehingga Surti & Tejo baru akan tiba kembali di rumah pukul 22.00. Rutinitas ini dilakukan Tejo tanpa mengeluh sedikitpun. Benar-benar kakak yang baik.

Suatu hari, kursus berakhir lebih cepat dari biasanya, yaitu pukul 19.30. Karena enggan menunggu sampai dijemput Tejo (pukul 21.00), Surti memutuskan untuk pulang dengan berjalan kaki. Di tengah jalan, Surti dan Tejo berpapasan. Ya tentu saja, Surti langsung diangkut Tejo lalu putar balik dan pulang ke rumah. Kakak beradik ini pun tiba di rumah lebih cepat dari biasanya, yaitu pukul 21.40.

  1. Berapa lama Surti berjalan kaki?
  2. (Out of the box) Berapa jauh kira-kira jarak rumah dan LINA?

Sumber : Wisnu OPS

Pembahasan Pertanyaan 1

Waktu yang ditempuh Tejo berkendara sampai bertemu dengan Surti = T
Waktu yang ditempuh surti berjalan kaki = S

Waktu yang ditempuh Surti untuk berjalan kaki dapat dipecah menjadi dua bagian :

  • Dari pukul 19.30 sampai pukul 20.00, Surti berjalan selama 30 menit.
  • Dari pukul 20.00 sampai pertemuan, Surti berjalan selama T menit.
    Mengapa T menit? Karena Tejo berangkat dari rumah pukul 20.00 dan membutuhkan waktu T menit untuk berpapasan dengan Surti. Pada saat itu, jam tangan Surti dan Tejo pasti sama-sama menunjukkan pukul 20.00 + T. Yang artinya Surti telah berjalan selama T menit (dari pukul 20.00).

Akibatnya, kita memperoleh persamaan S = 30 + T.

Sekarang, karena kakak beradik ini tiba di rumah pukul 21.40, berarti Tejo telah mengendarai kendaraannya selama 100 menit. Karena Tejo mengendarai kendaraannya pulang pergi, maka persamaan berikutnya adalah T + T = 100. Dengan demikian T = 50. Selanjutnya S = 80. Pertanyaan pertama pun terjawab.

Pembahasan Pertanyaan 2

Untuk pertanyaan kedua, kita membutuhkan fakta lain yang tidak ada di dalam cerita. Faktanya adalah : “Manusia normal dalam keaadaan sehat dan tanpa rintangan yang berarti membutuhkan waktu 1 jam untuk menempuh jarak 5 Km”.

Kita asumsikan Surti adalah manusia normal dalam keadaan sehat dan perjalanannya tidak menemui rintangan yang berarti. Sungguh suatu asumsi yang sangat berani. Tetapi ini pertanyaan “Out of the box” untuk memberikan prediksi kasar. Akurasi tidak terlalu dipermasalahkan.

Tejo hari ini berkendara selama 50 menit, sementara waktu normalnya adalah 60 menit. Secara kasar dapat dikatakan bahwa jarak yang ditempuh Tejo adalah \frac{5}{6} dari jarak rumah-LINA. Sementara sisanya, yang \frac{1}{6}, ditempuh oleh Surti selama 80 menit.

Lagi-lagi, dapat diperkirakan secara kasar bahwa Surti membutuhkan waktu 480 menit untuk menempuh keseluruhan jarak dari LINA ke rumah. Waktu 480 menit adalah waktu yang lama, yaitu 8 jam! Dengan demikian, kita dapat mem-prediksi secara kasar jarak dari rumah ke LINA adalah 8 x 5Km = 40 Km!

Sebagai informasi tambahan, Selat Sunda yang memisahkan pulau Sumatera dan Jawa jaraknya “hanya” sekitar 25 Km 🙂
Tekad Surti untuk fasih berbahasa Inggris benar-benar luar biasa dan layak untuk mendapat acungan jempol.

Make Up Number

September 14, 2010

Permasalahan 100 dan 99

Filed under: Brain Teaser, Logaritma, Matematika — Hendra Jaya @ 7:42 am

Problem

Mana yang lebih besar? {100}^{99} atau {99}^{100}

Pembahasan (via Logaritma)

Pendekatan yang paling mudah adalah pendekatan melalui logaritma. Sekedar napak tilas untuk menyegarkan ingatan, penulis akan menyajikan ulang dua buah identitas pada logaritma :

  1. \log a^b=b.\log a
  2. Untuk bilangan bulat positif a dan b, jika diketahui a\geq b, maka \log a\geq\log b

Sekarang, kita asumsikan bahwa {100}^{99}>{99}^{100}, sehingga diharapkan \log {100}^{99}>\log {100}^{99}

Sesuai dengan rumus logaritma, kita memperoleh bahwa \log {100}^{99}=99\log 100=198 dan sebaliknya, kita juga memperoleh \log {99}^{100}=100\log 99

Sekarang, pertanyaannya berubah menjadi “Apakah \log 99<1.98 ?” Kita tidak tahu dengan pasti berapa nilai dari \log 99, tetapi kita tahu dengan pasti bahwa \log 100 adalah 2.

Seharusnya – hanya feeling – , \log 99 nilainya sekitar 1.99xxx.

Yap. \log 99 nilainya 1.9956351945975499153 di kalkulator.

Sehingga pertidaksamaan \log 99<1.98 bernilai salah dan dengan demikian asumsi awal yang dibuat pun salah. Suatu kontradiksi yang mengakibatkan pernyataan yang benar adalah {99}^{100}>{100}^{99}

Logarithm Under My Bed

Pembahasan (via Bilangan Euler)

Jika kita misalkan A=100^{99} dan B=99^{99} maka kita peroleh

\begin{array}{lll}\frac{A}{B}&=&\frac{100^{99}}{99^{99}}\\\\\frac{A}{B}&=&(\frac{100}{99})^{99}\\\\\frac{A}{B}&=&(1+\frac{1}{99})^{99}\end{array}

Bentuk \frac{A}{B} di atas sangat mirip dengan bentuk legendaris e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.

Dengan memerhatikan bahwa f(n)=(1+\frac{1}{n})^n adalah sebuah fungsi yang monoton naik dan konvergen, yakni

  • Monoton naik karena f(n+1)>f(n)
  • Konvergen karena f(n+1)-f(n)>f(n+2)-f(n+1). Tes konvergensi via perbandingan rasio

Selanjutnya, walaupun 99 tidak bisa dikatakan “tak terhingga”, namun bentuk di atas dapat memberi kita keyakinan bahwa

(1+\frac{1}{99})^{99}<e<99

atau sederhananya

(1+\frac{1}{99})^{99}<99

Dengan demikian \frac{100^{99}}{99^{99}}<99

Sebagai akibatnya 100^{99}<99^{100}

Secara umum, kita dapat mengatakan bahwa (n+1)^n<n^{n+1} berlaku untuk n\geq 3\text{ , }n\in\mathbb{Z} atau dalam kelompok bilangan lain (real) pertidaksamaan berlaku dengan syarat n>e\text{ , }n\in\mathbb{R} dimana e adalah bilangan Euler.

Simplified Version

Pembahasan (via Binomial Newton)

Jika diketahui 0\leq a<k\leq n dimana n,k,a\in\mathbb{Z}

Kita peroleh pertidaksamaan 1:

\begin{array}{rcll}k&>&a\\k-a&>&0\\k-a&\geq&1&\text{ karena }k-a\text{ adalah bilangan bulat}\\\frac{1}{k-a}&\leq&1\\\end{array}

Lalu, karena a\geq 0, kita peroleh pertidaksamaan 2:

\begin{array}{rcl}a&\geq&0\\-a&\leq&0\\n-a&\leq&n\end{array}

Dengan menggabungkan kedua pertidaksamaan, kita peroleh \frac{n-a}{k-a}\leq n

Selanjutnya

\begin{array}{rcl}\frac{n-0}{k-0}&\leq&n\\\frac{n-1}{k-1}&\leq&n\\\frac{n-2}{k-2}&\leq&n\\&\ldots\\\frac{n-(k-2)}{k-(k-2)}&\leq&n\\\frac{n-(k-1)}{k-(k-1)}&\leq&n\end{array}

Sehingga

\begin{array}{rcll}\frac{n-0}{k-0}.\frac{n-1}{k-1}.\frac{n-2}{k-2}\ldots\frac{n-(k-2)}{k-(k-2)}.\frac{n-(k-1)}{k-(k-1)}&\leq&n^k\\\\\frac{n}{k}.\frac{n-1}{k-1}.\frac{n-2}{k-2}\ldots\frac{n-k+2}{2}.\frac{n-k+1}{1}&\leq&n^k\\\\\frac{n.(n-1).(n-2)\ldots(n-k+2).(n-k+1)}{k.(k-1).(k-2)\ldots 2.1}&\leq&n^k\\\\\frac{n.(n-1).(n-2)\ldots(n-k+2).(n-k+1)}{k!}&\leq&n^k&\text{Definisi faktorial, yaitu }k!=k.(k-1).(k-2)\ldots 3.2.1\\\\\frac{n.(n-1).(n-2)\ldots(n-k+2).(n-k+1)}{1}.\frac{1}{k!}&\leq&n^k\\\\\frac{n.(n-1).(n-2)\ldots(n-k+2).(n-k+1).(n-k).(n-k-1).(n-k-2)\ldots 2.1}{(n-k).(n-k-1).(n-k-2)\ldots 2.1}.\frac{1}{k!}&\leq&n^k&\text{Kalikan pembilang dan penyebut dengan }(n-k).(n-k-1).(n-k-2)\ldots 2.1\\\\\frac{n!}{(n-k)!}.\frac{1}{k!}&\leq&n^k&\text{Definisi faktorial}\\\\\frac{n!}{k!(n-k)!}&\leq&n^k\\\\\binom{n}{k}&\leq&n^k&\text{Definisi kombinasi }\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\end{array}

Dari definisi binomial Newton kita tahu bahwa (x+1)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k

Selanjutnya, dengan mengambil x=n, kita peroleh (n+1)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}n^k

Setelah dijabarkan kita peroleh (n+1)^n=\binom{n}{0}n^0+\binom{n}{1}n^1+\binom{n}{2}n^2+\cdots+\binom{n}{n-1}n^{n-1}+\binom{n}{n}n^n

\begin{array}{rlrlrlrlrlclrlr}(n+1)^n&=&\binom{n}{0}n^0&+&\binom{n}{1}n^1&+&\binom{n}{2}n^2&+&\binom{n}{3}n^3&+&\cdots&+&\binom{n}{n-1}n^{n-1}&+&\binom{n}{n}n^n\\\\(n+1)^n&=&1&+&n^2&+&\binom{n}{2}n^2&+&\binom{n}{3}n^3&+&\cdots&+&\binom{n}{n-1}n^{n-1}&+&\binom{n}{n}n^n\\\\(n+1)^n&\leq&1&+&n^2&+&n^n&+&n^n&+&\cdots&+&n^n&+&n^n\end{array}

Dengan mengambil asumsi berani, yaitu :

n^2+1<n^n

Kita peroleh :

\begin{array}{llllr}(n+1)^n&\leq&(n^2+1)+(n-1).n^n&<&n^n+(n-1).n^n\\\\(n+1)^n&&&<&(1+n-1).n^n\\\\(n+1)^n&&&<&n.n^n\\\\(n+1)^n&&&<&n^{n+1}\end{array}

Satu-satunya yang mengganjal pada aljabar pertidaksamaan di atas adalah asumsi berani kita, yaitu n^2+1<n^n.

Secara intuitif jelas sekali bahwa kecepatan “terbang” fungsi kuadratik n^2 akan kalah jauh dibanding n^n. Hal ini wajar karena “pangkat” dari fungsi kuadratik adalah konstan, yaitu 2. Hal ini mirip dengan notasi Big-O pada ilmu komputasi. Pembaca yang berlatar belakang pemrograman tentu sudah menyadari hal ini.

Lantas, pada n berapa, pertidaksamaan n^2+1<n^n berlaku? Pada saat n=2, sisi kiri masih lebih besar dari sisi kanan, yaitu 2^2+1>2^2. Akan tetapi pada saat n=3, sisi kiri sudah kalah (dan akan terus kalah) dari sisi kanan, yaitu 3^2+1<3^3.

Sehingga pertidaksamaan (n+1)^n<n^{n+1} berlaku untuk n\geq 3\text{ , }n\in\mathbb{Z}

Pretty Heavy Stuff

Buat situs web atau blog gratis di WordPress.com.