Catatan si Jay

November 12, 2010

3 Pangkat 2 Pangkat n

Filed under: Barisan Bilangan, Matematika — Hendra Jaya @ 12:58 pm

Problem

Hitunglah nilai dari

\frac{1}{3+1}+\frac{2}{3^2+1}+\frac{4}{3^4+1}+\ldots+\frac{2^{2009}}{3^{2^{2009}}+1}+\frac{2^{2010}}{3^{2^{2010}}+1}

Sumber

Post dari silvergrashopper di www.olimpiade.org. Soal aslinya telah sedikit dimodifikasi

Pra-Pembahasan

Sekedar menyegarkan ingatan, perhatikan beberapa sifat berikut :

  • {(x^a)}^b=x^{ab} untuk sembarang a,b,x\in\mathbb{R}
  • x^a.x^b=x^{a+b} untuk sembarang a,b,x\in\mathbb{R}
  • (x-y).(x+y)=x^2-y^2 untuk sembarang x,y\in\mathbb{R}

Misalkan kita ambil

x=3

a=2^n

b=2^1=2

Maka kita peroleh {(3^{2^n})}^2=3^{2^n.2}

Sekarang, karena 2^n.2=2^n.2^1=2^{n+1}

Maka nilai dari {(3^{2^n})}^2 dapat dituliskan sebagai :

{(3^{2^n})}^2=3^{2^n.2}=3^{2^{n+1}}

Pembahasan

Salah satu trik yang sangat ampuh dalam problem jenis ini adalah mengubah f(n) menjadi bentuk g(n)-g(n+1).

Pada problem ini, secara eksplisit dalam soal, diberitahu bahwa f(n)=\frac{2^n}{3^{2^n}+1}

Agar, tidak terlalu “ribet”, kita mulai manipulasi f(n) dari \frac{1}{3^{2^n}+1}

Melalui aljabar kita peroleh :

\begin{array}{rcll}\frac{1}{3^{2^n}-1}-\frac{1}{3^{2^n}+1}&=&\frac{(3^{2^n}+1)-(3^{2^n}-1)}{{(3^{2^n})}^2-1^2}\\\\&=&\frac{3^{2^n}+1-3^{2^n}+1}{3^{2^{n+1}}-1}\\\\&=&\frac{2}{3^{2^{n+1}}-1}\end{array}

Dengan demikian :

\begin{array}{ccccll}\frac{1}{3^{2^n}-1}&-&\frac{1}{3^{2^n}+1}&=&\frac{2}{3^{2^{n+1}}-1}\\\\\frac{1}{3^{2^n}-1}&-&\frac{2}{3^{2^{n+1}}-1}&=&\frac{1}{3^{2^n}+1}\\\\\frac{2^n}{3^{2^n}-1}&-&\frac{2^n.2}{3^{2^{n+1}}-1}&=&\frac{2^n}{3^{2^n}+1}&\mbox{Kalikan kedua sisi dengan }2^n\\\\\frac{2^n}{3^{2^n}-1}&-&\frac{2^{n+1}}{3^{2^{n+1}}-1}&=&\frac{2^n}{3^{2^n}+1}\end{array}

Bentuk di atas sungguh merupakan bentuk yang sangat sempurna untuk di-eksploitasi 😉

Yaitu f(n)=\frac{2^n}{3^{2^n}+1} dapat ditulis ulang sebagai g(n)-g(n+1) dimana g(n)=\frac{2^n}{3^{2^n}-1}

Sekarang waktunya menjawab soal :

\begin{array}{lcl}N&=&\frac{1}{3+1}+\frac{2}{3^2+1}+\frac{4}{3^4+1}+\ldots+\frac{2^{2009}}{3^{2^{2009}}+1}+\frac{2^{2010}}{3^{2^{2010}}+1}\\\\&=&(\frac{2^0}{3^{2^0}-1}-\frac{2^1}{3^{2^1}-1})+(\frac{2^1}{3^{2^1}-1}-\frac{2^2}{3^{2^2}-1})+(\frac{2^2}{3^{2^2}-1}-\frac{2^3}{3^{2^3}-1})+\ldots+(\frac{2^{2009}}{3^{2^{2009}}-1}-\frac{2^{2010}}{3^{2^{2010}}-1})+(\frac{2^{2010}}{3^{2^{2010}}-1}-\frac{2^{2011}}{3^{2^{2011}}-1})\\\\&=&\frac{2^0}{3^{2^0}-1}+(\frac{2^1}{3^{2^1}-1}-\frac{2^1}{3^{2^1}-1})+(\frac{2^2}{3^{2^2}-1}-\frac{2^2}{3^{2^2}-1})+(\frac{2^3}{3^{2^3}-1}-\frac{2^3}{3^{2^3}-1})+\ldots+(\frac{2^{2010}}{3^{2^{2010}}-1}-\frac{2^{2010}}{3^{2^{2010}}-1})-\frac{2^{2011}}{3^{2^{2011}}-1}\\\\&=&\frac{2^0}{3^{2^0}-1}-\frac{2^{2011}}{3^{2^{2011}}-1}\\\\&=&\frac{1}{2}-\frac{2^{2011}}{3^{2^{2011}}-1}\end{array}

Introduction to Computer

Iklan

November 11, 2010

Kejutan!!

Filed under: Barisan Bilangan, Matematika, Puzzle — Hendra Jaya @ 11:52 am

Problem

Hitunglah nilai dari

\begin{array}{l}\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+\ldots+\sqrt{1+\frac{1}{2008^2}+\frac{1}{2009^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2009^2}+\frac{1}{2010^2}}\end{array}

Sumber

Post dari aldo di www.olimpiade.org. Soal aslinya telah sedikit di-modifikasi

Pembahasan

Penulis akui bahwa penulis sedikit bingung apakah hasil perhitungan berupa bilangan rasional atau irasional. Tetapi, secara psikologis penulis yakin bahwa hasil akhirnya pasti berupa bilangan rasional.

Berangkat dari sini, manipulasi aljabar akan sangat dibutuhkan. Masalahnya adalah “Manipulasi yang seperti apa?”

Beberapa cara akan kita coba. Identitas aljabar yang perlu diingat pertama kali adalah (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz

Dengan identitas ini diharapkan terjadi ‘keajaiban’ bahwa manipulasi aljabar akan dapat menyingkirkan tanda akar (\sqrt{}) yang sangat mengganggu.

Dari sini, kita coba aljabar pertama, yaitu :

\begin{array}{lll}(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2&=&1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{ab}\\\\&=&1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2(a+b+1)}{ab}\end{array}

Cukup mirip dengan yang kita inginkan, tetapi belum sesuai. Mari kita coba aljabar kedua :

\begin{array}{lll}(1+\frac{1}{a}-\frac{1}{b})^2&=&1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{a}-\frac{2}{b}-\frac{2}{ab}\\\\&=&1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2(b-a-1)}{ab}\end{array}

Sepertinya aljabar yang terakhir memang aljabar yang kita inginkan. Agar bentuk yang terakhir sama persis dengan apa yang kita inginkan, kita ambil :

b=a+1 sehingga :

\begin{array}{lll}(1+\frac{1}{a}-\frac{1}{(a+1)})^2&=&1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{2}{a}-\frac{2}{(a+1)}-\frac{2}{a(a+1)}\\\\&=&1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{2(a+1-a-1)}{a(a+1)}\\\\&=&1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{2.0}{a(a+1)}\\\\&=&1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(a+1)^2}\end{array}

Voila! Persis dengan yang kita inginkan. Suatu bentuk ‘ajaib’ yang bisa meng-eliminasi tanda akar (\sqrt{})dengan mudah 😉

Dari sini kita peroleh :

\begin{array}{rll}1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(a+1)^2}&=&(1+\frac{1}{a}-\frac{1}{(a+1)})^2\\\\\sqrt{1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(a+1)^2}}&=&1+\frac{1}{a}-\frac{1}{(a+1)}\end{array}

Dengan memanfaatkan sepenuh-penuhnya bentuk terakhir, kita dapat menjawab soal dengan mudah :

latex

Exit Interview

Oktober 23, 2010

Obat Ngantuk Barisan Bilangan 1

Filed under: Barisan Bilangan, Matematika, Puzzle — Hendra Jaya @ 8:37 am

Problem 1

Bintang Carilah rumus suku ke-n (U_n) pada barisan-barisan bilangan di bawah ini dan jelaskan mengapa mereka bukan barisan bilangan aritmatika.

  • Barisan pertama : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ….
  • Barisan kedua : 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, …
  • Barisan ketiga : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ….
  • Barisan keempat : 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, …

Pembahasan

  • Barisan pertama adalah barisan bilangan kuadrat, yaitu n^2 dengan n\geq 1 dan n\in\mathbb{Z}.
    Barisan ini bukan barisan aritmatika karena jarak tiap suku (d) tidak konstan. Sebagai contoh U_2-U_1=3 sementara U_3-U_2=5
  • Barisan kedua adalah barisan bilangan kubik, yaitu n^3 dengan n\geq 0 dan n\in\mathbb{Z}.
    Barisan ini bukan barisan aritmatika karena jarak tiap suku (d) tidak konstan. Sebagai contoh U_2-U_1=1 sementara U_3-U_2=19
  • Barisan ketiga adalah barisan bilangan segitiga, yaitu \frac{n.(n+1)}{2} dengan n\geq 1 dan n\in\mathbb{Z}.
    Barisan ini bukan barisan aritmatika karena jarak tiap suku (d) tidak konstan. Sebagai contoh U_2-U_1=2 sementara U_3-U_2=3
  • Barisan keempat adalah barisan bilangan segiempat, yaitu \frac{n.(n+1).(n+2)}{6} dengan n\geq 1 dan n\in\mathbb{Z}.
    Barisan ini bukan barisan aritmatika karena jarak tiap suku (d) tidak konstan. Sebagai contoh U_2-U_1=3 sementara U_3-U_2=6

Bilangan segitiga, segiempat, segilima dan seterusnya dikenal sebagai bilangan gambar/polyhedral (figurate number).
Untuk lebih jelasnya silahkan baca di sini.

Sebagai obat ngantuk berikutnya :

  • Buktikan bahwa bilangan segitiga, yaitu \frac{n.(n+1)}{2} dengan n\geq 1 dan n\in\mathbb{Z}, selalu merupakan bilangan bulat.
  • Buktikan bahwa bilangan segiempat, yaitu \frac{n.(n+1).(n+2)}{6} dengan n\geq 1 dan n\in\mathbb{Z}, selalu merupakan bilangan bulat.
  • dst…
  • BintangBintang Buktikan bahwa bilangan polyhedral, yaitu \frac{n.(n+1).(n+2).(n+3)+...+(n+k-1)}{1.2.3.4...k} dengan n\geq 1,k\geq 1 dan n,k\in\mathbb{Z}, selalu merupakan bilangan bulat.

Problem 2

Bintang Misalkan U_1,U_2,U_3,...,U_k adalah sebuah barisan bilangan aritmatik.

Diketahui U_4+U_7+U_{10}=17 dan U_4+U_5+U_6+...+U_{12}+U_{13}+U_{14}=77

Carilah nilai k dimana U_k=13

Sumber : American High School Mathematics Examination

Pembahasan

Dalam setiap deret aritmatik, berlaku Arithmatic Mean, yaitu 2.U_m=U_{m-n}+U_{m+n}

atau secara umum :

\begin{array}{l}(2n+1).U_m=U_{m-n}+U_{m-n+1}+U_{m-n+2}+...+U_{m-2}+U_{m-1}+U_m+U_{m+1}+U_{m+2}+...+U_{m+n-2}+U_{m+n-1}+U_{m+n}\end{array}

Solusi 1, menggunakan rataan aritmatika (Arithmatic Mean) sederhana :

\begin{array}{lllllllllr}2&.&U_{7}&=&U_{4}&+&U_{10}\\&&U_{7}&=&U_{7}\\-&-&-&-&--&-&--&-&--&+\\3&.&U_{7}&=&U_{4}&+&U_{7}&+&U_{10}\\3&.&U_{7}&=&17\\&&U_{7}&=&\frac{17}{3}\end{array}

\begin{array}{llllllll}2&.&U_{9}&=&U_{4}&+&U_{14}\\2&.&U_{9}&=&U_{5}&+&U_{13}\\2&.&U_{9}&=&U_{6}&+&U_{12}\\2&.&U_{9}&=&U_{7}&+&U_{11}\\2&.&U_{9}&=&U_{8}&+&U_{10}\\&&U_{9}&=&U_{9}\\-&-&-&-&-&-&-&+\\11&.&U_{9}&=&77\\&&U_{9}&=&7\end{array}

Sekarang karena U_7=a+6d dan U_9=a+8d, maka :

\begin{array}{lllllr}a&+&8d&=&7\\a&+&6d&=&\frac{17}{3}\\-&-&-&-&-&-\\&&2d&=&\frac{4}{3}\\&&d&=&\frac{2}{3}\end{array}

Karena U_k=a+(k-1)d, maka :

\begin{array}{llrllr}a&+&(k-1)d&=&13\\a&+&6d&=&\frac{17}{3}\\-&-&----&-&-&-\\&&(k-7)d&=&\frac{22}{3}\\&&(k-7)\frac{2}{3}&=&\frac{22}{3}\\&&k-7&=&11\\&&k&=&18\end{array}

Dengan demikian suku ke-k yang memenuhi U_k=13 adalah suku ke-18.

Solusi 2, menggunakan rataan aritmatika (Arithmatic Mean) umum :

\begin{array}{lllclll}U_4&+&U_7&+&U_{10}&=&17\\&&(2.1+1)&.&U_{7}&=&17\\&&3&.&U_{7}&=&17\\&&&&U_{7}&=&\frac{17}{3}\end{array}

\begin{array}{lllllllllllllll}U_4&+&U_5&+&U_6&+&...&+&U_{12}&+&U_{13}&+&U_{14}&=&77\\&&&&&&&&&&(2.5+1)&.&U_{9}&=&77\\&&&&&&&&&&11&.&U_{9}&=&77\\&&&&&&&&&&&&U_{9}&=&7\end{array}

Selanjutnya tinggal menyelesaikan persamaan U_7=\frac{17}{3} dan persamaan U_9=7. Hal ini diserahkan kepada pembaca.

Problem 3

BintangBintang Hitunglah nilai dari \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{98.99}+\frac{1}{99.100}

Pembahasan

Sebelum mencari jawaban, ada baiknya kita telusuri lebih jauh bentuk tersebut.

Misalkan nilai dari bentuk di atas adalah S, maka S dapat dituliskan sebagai : S=\sum_{n=1}^{99}\frac{1}{n.(n+1)}

Apakah kita bisa meng-eksploitasi sesuatu dari sini? Apakah kita melupakan sesuatu di sini?

Tampaknya memang ada sesuatu yang bisa kita eksploitasi tetapi kita lupakan.

Perhatikan persamaan di bawah ini :

\begin{array}{lllllll}\frac{1}{a}&-&\frac{1}{b}&=&\frac{b}{ab}&-&\frac{a}{ab}\\\\\frac{1}{a}&-&\frac{1}{b}&=&\frac{b-a}{ab}\end{array}

Jika b-a=1, apa yang akan terjadi? Mari kita lihat

\begin{array}{lllllll}b&-&a&=&1\\&&b&=&a&+&1\end{array}

Makna dari persamaan di atas adalah jika a dan b keduanya adalah bilangan bulat, maka a dan b adalah dua buah bilangan bulat yang berturutan. Sepertinya sesuai dengan yang kita inginkan. Mari kita uji.

\begin{array}{lllllll}\frac{1}{n}&-&\frac{1}{n+1}&=&\frac{n+1}{n.(n+1)}&-&\frac{n}{n.(n+1)}\\\\\frac{1}{n}&-&\frac{1}{n+1}&=&\frac{n+1-n}{n.(n+1)}\\\\\frac{1}{n}&-&\frac{1}{n+1}&=&\frac{1}{n.(n+1)}\end{array}

Yap! Persis dengan yang kita inginkan. Sekarang kita eksploitasi.

\begin{array}{llclclclclclclc}S&=&\frac{1}{1.2}&+&\frac{1}{2.3}&+&\frac{1}{3.4}&+&...&+&\frac{1}{98.99}&+&\frac{1}{99.100}\\\\&=&\frac{1}{1}-\frac{1}{2}&+&\frac{1}{2}-\frac{1}{3}&+&\frac{1}{3}-\frac{1}{4}&+&...&+&\frac{1}{98}-\frac{1}{99}&+&\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\\\\&=&\frac{1}{1}&+&\frac{1}{2}-\frac{1}{2}&+&\frac{1}{3}-\frac{1}{3}&+&...&+&\frac{1}{98}-\frac{1}{98}&+&\frac{1}{99}-\frac{1}{99}&-&\frac{1}{100}\\\\&=&\frac{1}{1}&-&\frac{1}{100}\\\\S&=&\frac{99}{100}\end{array}

Persamaan S=\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n.(n+1)} ini sendiri secara umum bernilai \frac{k}{k+1}.

Atau jika dituliskan secara utuh menjadi S=\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n.(n+1)}=\frac{k}{k+1}

Problem 4

Bintang Untuk T\in\mathbb{R}, diketahui tiga buah suku pertama pada barisan aritmatik adalah 2T, 5T-1 dan 6T+2. Berapakah nilai suku ke-4?

Pembahasan

\begin{array}{rcl}U_2-U_1&=&U_3-U_2\\(5T-1)-(2T)&=&(6T+2)-(5T-1)\\5T-1-2T&=&6T+2-5T+1\\3T-1&=&T+3\\2T&=&4\\T&=&2\end{array}

Selanjutnya,

\begin{array}{rclr}U_4+U_2&=&2.U_3\\U_4+(5T-1)&=&2.(6T+2)\\U_4+5T-1&=&12T+4\\U_4&=&7T+5\\U_4&=&7.2+5&\text{Substitusikan nilai }T\\U_4&=&19\end{array}

Problem 5

Bintang Diketahui \frac{b+c-a}{a}, \frac{c+a-b}{b} dan \frac{a+b-c}{c} adalah tiga buah suku berurutan pada sebuah barisan aritmatik.

Buktikan bahwa \frac{1}{a}, \frac{1}{b} dan \frac{1}{c} juga merupakan tiga buah suku berurutan pada sebuah barisan aritmatik (tidak harus barisan yang sama).

Pembahasan

Dalam sebuah barisan aritmatik berlaku rataan aritmatik 2.U_{n}=U_{n-k}+U_{n+k}.

Untuk tiga suku yang berturutan, nilai k adalah 1.

Yaitu 2.U_{n}=U_{n-1}+U_{n+1} atau dalam bentuk lain 2.U_{n+1}=U_{n}+U_{n+2}.

Menurut sifat ini, jika \{\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\} adalah tiga suku berturutan pada sebuah barisan aritmatik maka akan terpenuhi rataan aritmatik 2.\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}

Sekarang, misalkan :

U_k=\frac{b+c-a}{a}

U_{k+1}=\frac{c+a-b}{b}

U_{k+2}=\frac{a+b-c}{c}

Dengan menggunakan sifat U_{n+1}-U_n=U_{m+1}-U_m, maka

\begin{array}{rcll}U_{k+1}-U_k&=&U_{k+2}-U_{k+1}\\\\\frac{c+a-b}{b}-\frac{b+c-a}{a}&=&\frac{a+b-c}{c}-\frac{c+a-b}{b}\\\\(\frac{c}{b}+\frac{a}{b}-\frac{b}{b})-(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}-\frac{a}{a})&=&(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}-\frac{c}{c})-(\frac{c}{b}+\frac{a}{b}-\frac{b}{b})\\\\\frac{c}{b}+\frac{a}{b}-\frac{b}{b}-\frac{b}{a}-\frac{c}{a}+\frac{a}{a}&=&\frac{a}{c}+\frac{b}{c}-\frac{c}{c}-\frac{c}{b}-\frac{a}{b}+\frac{b}{b}&\text{Sifat distributif perkalian}\\\\\frac{c}{b}+\frac{a}{b}-1-\frac{b}{a}-\frac{c}{a}+1&=&\frac{a}{c}+\frac{b}{c}-1-\frac{c}{b}-\frac{a}{b}+1&\text{Sederhanakan (Identitas pembagian)}\\\\\frac{c}{b}+\frac{a}{b}-\frac{b}{a}-\frac{c}{a}&=&\frac{a}{c}+\frac{b}{c}-\frac{c}{b}-\frac{a}{b}\\\\\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+1-\frac{b}{a}-\frac{c}{a}-1&=&\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+1-\frac{c}{b}-\frac{a}{b}-1&\text{Tambahkan }0\text{ pada kedua sisi (Identitas penjumlahan)}\\\\\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{b}-\frac{b}{a}-\frac{c}{a}-\frac{a}{a}&=&\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{c}-\frac{c}{b}-\frac{a}{b}-\frac{b}{b}&\text{Identitas pembagian}\\\\\frac{c+a+b}{b}-\frac{b+c+a}{a}&=&\frac{a+b+c}{c}-\frac{c+a+b}{b}&\text{Kelompokkan berdasarkan penyebut (Sifat distributif pembagian)}\\\\\frac{a+b+c}{b}-\frac{a+b+c}{a}&=&\frac{a+b+c}{c}-\frac{a+b+c}{b}&\text{Susun ulang pembilang (Sifat komutatif penjumlahan)}\\\\\frac{1}{b}-\frac{1}{a}&=&\frac{1}{c}-\frac{1}{b}&\text{Asumsikan }a+b+c\neq 0\text{. Kalikan kedua sisi dengan }\frac{1}{a+b+c}\text{ (Identitas perkalian)}\\\\\frac{2}{b}&=&\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\end{array}

Perhatikan bahwa keterbuktian persamaan \frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c} sebenarnya tidak mengimplikasikan bahwa \frac{1}{a}, \frac{1}{b} dan \frac{1}{c} merupakan tiga suku yang berturutan pada sebuah deret aritmatik. Hal ini karena wajar karena property rataan aritmatik ini tidak biimplikatif (jika dan hanya jika).

Untuk membuktikan bahwa \frac{1}{a}, \frac{1}{b} dan \frac{1}{c} merupakan tiga suku yang berturutan pada sebuah deret aritmatik, kita perlu melakukan uji jarak/difference (d) pada ketiga suku ini. yaitu :

\begin{array}{rlllrll}U_{k+2}&-&U_{k+1}&=&U_{k+1}&-&U_{k}\\\frac{1}{c}&-&\frac{1}{b}&=&\frac{1}{b}&-&\frac{1}{a}\end{array}

Hal itu dapat dilakukan dengan metode kontradiktif. Yaitu, dengan mengasumsikan ketiga bilangan ini tidak tersusun dalam deret aritmatika. Atau secara matematis dengan membuktikan

\frac{1}{c}-\frac{1}{b}\neq\frac{1}{b}-\frac{1}{a}

Sayangnya, asumsi ini gagal karena

\begin{array}{llllllll}&\frac{1}{c}&-&\frac{1}{b}&\neq&\frac{1}{b}&-&\frac{1}{a}\\\Leftrightarrow&\frac{1}{a}&+&\frac{1}{c}&\neq&\frac{2}{b}\end{array}

Suatu kontradiksi yang mengakibatkan asumsi kita salah. Dengan demikian benarlah bahwa \frac{1}{a}, \frac{1}{b} dan \frac{1}{c} merupakan tiga suku yang berturutan pada sebuah deret aritmatik.

Forget All You Have Learned

Problem 6

Bintang Ada berapa banyak nilai n sedemikian rupa sehingga 1+2+3+4+...+n habis membagi 6n.

Sumber : American Mathematics Competition 12^{th} grade

Pembahasan

Karena 1+2+3+...+n=\frac{n.(n+1)}{2}, maka :

\begin{array}{lllllllllll}6n&=&\frac{n.(n+1)}{2}&.&p\\6&=&\frac{n+1}{2}&.&p\\12&=&(n+1)&.&p\end{array}

Karena baik n maupun p adalah bilangan bulat positif dan himpunan faktor-faktor positif dari 12 adalah A=\{1,2,3,4,6,12\}, maka nilai n dapat dicari dengan memeriksa semua faktor-faktor positif dari 12. Sebagai berikut :

n+1=1\Leftrightarrow n=0 (tidak memenuhi karena n\geq 1)

n+1=2\Leftrightarrow n=1

n+1=3\Leftrightarrow n=2

n+1=4\Leftrightarrow n=3

n+1=6\Leftrightarrow n=5

n+1=12\Leftrightarrow n=11

Dengan demikian, himpunan nilai n yang memenuhi sifat ini adalah N=\{1,2,3,5,11\} yang banyaknya ada 5 buah.

Problem 7

Bintang Dalam sebuah barisan aritmatika U_1,U_2,U_3..., diketahui U_8=2001.

Jika jarak antar suku satu dengan suku yang lain (d) adalah sebuah bilangan bulat, berapa nilai minimum d agar U_{17}>10000?

Sumber : Introduction to Algebra

Pembahasan

Diketahui : U_8=a+7d=2001 dengan d\in\mathbb{Z}

Ditanya : Nilai d minimum agar U_{17}=a+16d>10000

Jawab :

\begin{array}{rlrll}a&+&16d&>&10000\\(a+7d)&+&9d&>&10000\\2001&+&9d&>&10000\\&&9d&>&7999\\&&d&>&888.777\end{array}

Karena d\in\mathbb{Z}, maka :

\begin{array}{lll}d_{min}&=&\lceil 888.777\rceil\\d_{min}&=&889\end{array}

Problem 8

BintangBintang Hitunglah nilai dari \frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+...+\frac{1}{5050}.

Pembahasan

Sebelum memulai pembahasan ada baiknya kita cari tahu pola barisan bilangan yang diberikan.

Catatan : Ilmu mencari pola memang sangat sulit untuk diajarkan. Sepertinya ilmu ini datang dari jam terbang. Pembaca tidak perlu berkecil hati karenanya.

Barisan 1,3,6,10,...,5050 adalah barisan dengan pola \frac{n.(n+1)}{2}.  Yaitu barisan bilangan segitiga. Atau jika ingin sedikit lebih jelas perhatikan persamaan-persamaan di bawah ini :

\begin{array}{lrlllllllllllll}&1&=&1&&&&&&&&&&=&\frac{1.2}{2}\\\\&3&=&1&+&2&&&&&&&&=&\frac{2.3}{2}\\\\&6&=&1&+&2&+&3&&&&&&=&\frac{3.4}{2}\\\\&10&=&1&+&2&+&3&+&4&&&&=&\frac{4.5}{2}\\\\dst...\\\\&5050&=&1&+&2&+&3&+&4&+&...&+100&=&\frac{100.101}{2}\end{array}

Kembali ke persoalan. Dengan demikian barisan bilangan pada soal berpola \frac{1}{\frac{n.(n+1)}{2}} atau setara dengan \frac{2}{n.(n+1)}.

Sama seperti pada problem 3, kita bisa melakukan trik sederhana dengan mengubah bentuknya menjadi \frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}. Suatu bentuk yang ideal untuk kita manfaatkan.

\begin{array}{llclclclclclclc}S&=&\frac{1}{1}&+&\frac{1}{3}&+&\frac{1}{6}&+&\frac{1}{10}&+&...&+&\frac{1}{5050}\\\\S&=&\frac{2}{2}&+&\frac{2}{6}&+&\frac{2}{12}&+&\frac{2}{20}&+&...&+&\frac{2}{10100}\\\\S&=&\frac{2}{1.2}&+&\frac{2}{2.3}&+&\frac{2}{3.4}&+&\frac{2}{4.5}&+&...&+&\frac{2}{100.101}\\\\&=&\frac{2}{1}-\frac{2}{2}&+&\frac{2}{2}-\frac{2}{3}&+&\frac{2}{3}-\frac{2}{4}&+&\frac{2}{4}-\frac{2}{5}&+&...&+&\frac{2}{100}-\frac{2}{101}\\\\&=&\frac{2}{1}&+&\frac{2}{2}-\frac{2}{2}&+&\frac{2}{3}-\frac{2}{3}&+&\frac{2}{4}-\frac{2}{4}&+&...&+&\frac{2}{100}-\frac{2}{100}&-&\frac{2}{101}\\\\&=&\frac{2}{1}&-&\frac{2}{101}\\\\S&=&\frac{200}{101}\end{array}

Problem 9

BintangBintangBintang Diketahui bahwa :

  1. Setiap serangga tampan membelah diri menjadi seekor serangga buruk rupa dan seekor serangga bodoh.
  2. Setiap serangga buruk rupa membelah diri menjadi dua ekor serangga tampan.
  3. Setiap serangga bodoh membelah diri menjadi seekor serangga buruk rupa dan seekor serangga tampan.
  4. Serangga hanya membelah diri ketika dia mati.
  5. Masa hidup setiap serangga (tidak perduli jenisnya) adalah sama.
  6. Pada awalnya hanya ada seekor serangga tampan (origin of species). Serangga ini disebut sebagai serangga generasi pertama.

Berapa jumlah:

  1. Total seluruh serangga generasi ke-5?
  2. Serangga (masing-masing jenis) generasi ke-5?
  3. Total seluruh serangga generasi ke-n?
  4. Serangga (masing-masing jenis) generasi ke-n?

Pembahasan

Draft

Problem 10

Bintang Dalam sebuah deret aritmatika, diketahui fakta-fakta berikut :

  • U_1+U_2+U_3+...+U_{100}=100

dan

  • U_{101}+U_{102}+U_{103}+...+U_{200}=200

Berapakah nilai dari U_1?

Pembahasan

Dari rataan aritmatika kita ketahui bahwa :

\begin{array}{lllllr}&U_2&+&U_{100}&=&2.U_{51}\\&U_3&+&U_{99}&=&2.U_{51}\\dst...\\&U_{49}&+&U_{53}&=&2.U_{51}\\&U_{50}&+&U_{52}&=&2.U_{51}\end{array}

Selanjutnya, dengan menggabungkan konsep rataan aritmatika dan fakta pertama kita peroleh persamaan 1 :

\begin{array}{lllllllllll}U_1&+&U_2&+&U_3&+&...&+&U_{100}&=&100\\&&&&&&U_1&+&99.U_{51}&=&100\\&&&&&&a&+&99.(a+50d)&=&100\\&&&&&&a&+&99a+4950d&=&100\\&&&&&&&&100a+4950d&=&100\end{array}

Lalu kita peroleh persamaan 2 dari konsep rataan aritmatika dan fakta kedua :

\begin{array}{lllllllllll}U_{101}&+&U_{102}&+&U_{103}&+&...&+&U_{200}&=&200\\&&&&&&U_{101}&+&99.U_{151}&=&200\\&&&&&&(a+100d)&+&99.(a+150d)&=&200\\&&&&&&a+100d&+&99a+14850d&=&200\\&&&&&&&&100a+14950d&=&200\end{array}

Sekarang kita selesaikan persamaan 1 dan persamaan 2 :

\begin{array}{rlrllr}100a&+&14950d&=&200\\100a&+&4950d&=&100\\---&-&----&-&---&-\\&&10000d&=&100\\&&d&=&\frac{1}{100}\end{array}

Dari sini kita peroleh nilai d, yaitu d=\frac{1}{100}

Berikutnya nilai d kita substitusikan ke persamaan 1 untuk mencari nilai a. Ingat bahwa dalam deret aritmatika U_1=a.

\begin{array}{lllll}100a&+&4950d&=&100\\100a&+&4950.\frac{1}{100}&=&100\\100a&+&49,5&=&100\\&&100a&=&50,5\\&&a&=&0,505\end{array}

Obscene Math Phone Call

September 14, 2010

Barisan Bilangan 1 : Deret Aritmatika (Arithmetic Progression)

Filed under: Barisan Bilangan, Matematika, Teori Bilangan — Hendra Jaya @ 7:07 am

Deret

Deret : Sederhana saja, deret adalah daftar/barisan bilangan.
Definisi : Setiap bilangan pada deret disebut sebagai suku/elemen/term. Dilambangkan dengan U.

Deret Aritmatika

Definisi : Deret/barisan bilangan aritmatika adalah sekumpulan bilangan yang disusun sedemikian rupa sehingga jarak/selisih/difference antara setiap suku dengan suku berikutnya selalu tetap (konstan).
Definisi: Setiap bilangan pada deret disebut sebagai suku/element/term

Selanjutnya, jika setiap suku pada deret diberi index, maka deret dapat dituliskan sebagai berikut :
U_1,U_2,U_3,...,U_n.

Contoh-contoh deret aritmatika :

  • 1,3,5,7,10. Deret aritmatika terhingga (finite), yaitu jumlahnya terbatas. Selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah 2.
  • 1,2,3,4,5,6. Deret aritmatika terhingga. Selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah 1.
  • 1,2,3,4,5,6,.... Deret aritmatika tak terhingga (infinite), yaitu jumlahnya tidak terbatas. Selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah 1.
  • 3,2,1,0,-1,-2. Deret aritmatika terhingga. Selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah -1.
  • 4,1,-2,-5,-8,-11,.... Deret aritmatika tak terhingga. Suku pertamanya adalah 4 dan selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah -3.
  • 0,2.5,5,7.5,10,12.5,.... Deret aritmatika tak terhingga. Suku pertamanya adalah 0 dan selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah 2.5
  • \frac{5}{7},\frac{6}{7},\frac{7}{7},\frac{8}{7},\frac{9}{7},\frac{10}{7},.... Deret aritmatika tak terhingga. Suku pertamanya adalah \frac{5}{7} dan selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah \frac{1}{7}
  • a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d,a+5d,.... Deret aritmatika tak terhingga. Suku pertamanya adalah a dan selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah d.
  • a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d,a+5d,...,a+(n-1)d. Deret aritmatika terhingga. Suku pertamanya adalah a dan selisih tiap suku dengan suku berikutnya adalah d.

Perhatikan baik-baik contoh terakhir.

Di dalam matematika, barisan bilangan seringkali dinyatakan dengan U_1,U_2,U_3,...,U_n dimana U_1=a, U_2=a+d, U_3=a+2d, … dan U_n=a+(n-1)d. Notasi ini dalam matematika bermakna :

Suku pertama (U_1) adalah a dan suku ke-n (U_n) adalah a+(n-1)d dimana d adalah jarak/selisih antara suatu suku dengan suku berikutnya, yakni jarak antara U_m dengan U_{m+1} dimana 1\leq m\leq n. Blog mengikuti notasi ini.

Definisi formalnya :

\begin{array}{llll}U_1&=&a&U_1\text{ adalah suku ke-1}\\U_n&=&a+(n-1)d&U_n\text{ adalah suku ke-n, dengan }n\text{ adalah sembarang bilangan yang memenuhi }n>1\text{ dan }n\in\mathbb{Z}\\d&=&U_{m+1}-U_{m}&d\text{ adalah jarak antara suku ke-m (}U_m\text{) dengan suku berikutnya (}U_{m+1}\text{), dengan }m\text{ adalah sembarang bilangan yang memenuhi }m>1\text{ dan }m\in\mathbb{Z}\end{array}

Contoh barisan aritmatika yang lain :

  • Deret bilangan cacah \mathbb{N}_0 : 0, 1, 2, 3, 4, 5 …
    Tak terhingga dengan d=1, U_1=0 dan U_n=n-1
  • Deret bilangan asli \mathbb{N}_1 : 1, 2, 3, 4, 5, 6 …
    Tak terhingga dengan d=1, U_1=1 dan U_n=n.
  • Deret bilangan genap : 0, 2, 4, 6, 8, 10,…
    Tak terhingga dengan d=2, U_1=0 dan U_n=2.(n-1)
  • Deret bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ….
    Tak terhingga dengan d=2, U_1=1 dan U_n=2n-1
  • Deret bilangan kelipatan 2 : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 … 2n
    Terhingga dengan d=2, U_1=2 dan U_n=2n
  • Deret bilangan kelipatan 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 … 3n
    Terhingga dengan d=3, U_1=3 dan U_n=3n
  • Deret bilangan kelipatan 3 : 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 … 3(n-1)
    Terhingga dengan d=3, U_1=0 dan U_n=3(n-1)

Sifat-sifat Deret Aritmatik

Perhatikan aljabar di bawah ini :

\begin{array}{lllrclrr}&&U_m&=&U_1&+&(m-1)d\\&&U_n&=&U_1&+&(n-1)d\\-&-&-&-&----&-&----&-\\U_m&-&U_n&=&(m-1)d&-&(n-1)d\\U_m&-&U_n&=&(m-n)d\\&&U_m&=&U_n&+&(m-n)d\end{array}

Kita peroleh sifat pertama dari deret aritmatika, yaitu U_m=U_n+(m-n)d.

Penjabaran yang lain :

\begin{array}{rllrrllr}&&U_m&=&U_1&+&(m-1)d\\&&U_{m+2n}&=&U_1&+&(m+2n-1)d\\--&-&---&-&--&-&------------&+\\U_m&+&U_{m+2n}&=&2.U_1&+&(m-1)d+(m+2n-1)d\\U_m&+&U_{m+2n}&=&2.U_1&+&(2m+2n-2)d\\U_m&+&U_{m+2n}&=&2.U_1&+&2.(m+n-1)d\end{array}

Mengingat

\begin{array}{rlrlr}U_{m+n}&=&U_1&+&(m+n-1)d\\2.U_{m+n}&=&2.U_1&+&2.(m+n-1)d\end{array}

Maka bisa disimpulkan sifat kedua dari deret aritmatika, yaitu U_m+U_{m+2n}=2.U_{m+n}

Sifat kedua inilah yang nantinya akan menjadi dasar teori untuk rataan aritmatik (Arithmetic Mean). Sebagai gambaran saja, sifat kedua ini dapat dituliskan menjadi \frac{U_m+U_{m+2n}}{2}=U_{m+n} yang dapat diterjemahkan secara statistik : “nilai rata-rata dari U_m dan U_{m+2n} adalah U_{m+n}“.

Jumlah Semua Suku Pada Deret

Alkisah, Carl Friedrich Gauss, salah satu matematikawan terbaik dan yang paling berpengaruh sepanjang masa, menemukan metode untuk menghitung nilai dari 1+2+3+4+...+100 ketika beliau masih berusia 10 tahun. Metode yang diperkenalkan oleh Gauss di usia belia itu masih belum tergantikan hingga saat ini. Untuk menghormati jasa beliau, metode ini dinamai metode Gaussian.

Metode Gaussian adalah sebagai berikut :

\begin{array}{llllrlrlrlrlrlrlrlrlrr}&&total&=&1&+&2&+&3&+&4&+&...&+&97&+&98&+&99&+&100\\&&total&=&100&+&99&+&98&+&97&+&...&+&4&+&3&+&2&+&1\\-&-&---&=&---&-&--&-&--&-&--&-&-&-&--&-&--&-&--&-&--&+\\2&.&total&=&101&+&101&+&101&+&101&+&...&+&101&+&101&+&101&+&101\\2&.&total&=&100&.&101\\&&total&=&\frac{100.101}{2}\\&&total&=&5050\end{array}

Lantas, bagaimana caranya menghitung jumlah dari suku-suku pada sebuah deret aritmatik?

Untuk menghitung jumlah dari suku-suku pada sebuah deret aritmatik, kita akan meminjam metode Gaussian ini sebentar :

\begin{array}{llllrlrlrlrlrlrlrlrlrr}&&S_n&=&a&+&a+d&+&a+2d&+&a+3d&+&...&+&a+(n-4)d&+&a+(n-3)d&+&a+(n-2)d&+&a+(n-1)d\\&&S_n&=&a+(n-1)d&+&a+(n-2)d&+&a+(n-3)d&+&a+(n-2)d&+&...&+&a+3d&+&a+2d&+&a+d&+&a\\-&-&-&=&--------&-&--------&-&--------&-&--------&-&-&-&--------&-&--------&-&--------&-&--------&+\\2&.&S_n&=&a+a+(n-1)d&+&a+a+(n-1)d&+&a+a+(n-1)d&+&a+a+(n-1)d&+&...&+&a+a+(n-1)d&+&a+a+(n-1)d&+&a+a+(n-1)d&+&a+a+(n-1)d\\2&.&S_n&=&U_1+U_n&+&U_1+U_n&+&U_1+U_n&+&U_1+U_n&+&...&+&U_1+U_n&+&U_1+U_n&+&U_1+U_n&+&U_1+U_n\\2&.&S_n&=&n.(U_1+U_n)\\&&S_n&=&\frac{n.(U_1+U_n)}{2}\end{array}

Dengan demikian kita peroleh rumus untuk menghitung total nilai seluruh suku pada deret aritmatika, yaitu S_n=\frac{n.(U_1+U_n)}{2}. Dimana :

S_n menyimbolkan jumlah (sum) dari suku-suku pada deret.
U_1 menyimbolkan suku pertama pada deret.
U_n menyimbolkan suku terakhir pada deret.
n menyimbolkan banyaknya suku pada deret.

Karena deret aritmatika berbentuk U_1,U_2,U_3,...,U_{n-2},U_{n-1},U_n maka kita boleh saja meng-asumsikan bahwa ada suku U_m yang letaknya berada di rentang U_1\leq U_m\leq U_n (well-order principle) sehingga deret aritmatika dapat dituliskan sebagai U_1,U_2,U_3,...,U_m,U_{m+1},U_{m+2},....,U_{n-2},U_{n-1},U_n.

Sekarang jika kita pandang secara parsial (sebagian), yakni deret kita mulai dari suku ke-m, maka kita memperoleh deret baru, yaitu U_m,U_{m+1},U_{m+2},....,U_{n-2},U_{n-1},U_n.

Ada berapa banyak suku pada deret ini?

Sebelumnya, deret memiliki n suku. Tetapi karena kita hanya mengambil sepotong saja dari deret tersebut, artinya ada sebagian suku yang kita tinggalkan. Banyaknya suku yang kita tinggalkan adalah m-1 suku. Dan dengan demikian banyaknya suku yang kita “pakai” adalah n-(m-1) suku, yaitu n-m+1 suku.

Berapa jumlah nilai suku-suku pada deret baru ini?

Suku pertama pada deret ini adalah U_m dan suku terakhir adalah U_n. Banyaknya suku ada n-m+1 buah. Sesuai dengan rumus yang tadi kita peroleh, jumlah nilai suku-suku pada deret ini adalah S_{n-m+1}=\frac{(n-m+1).(U_m+U_n)}{2}

Rumus ini adalah rumus umum untuk mencari jumlah nilai suku-suku pada deret. Baik secara parsial ataupun secara utuh. Jika ingin menghitung secara utuh, gunakan m=1.

Einstein's First Equation

Rataan Aritmatika

Sesuai dengan judulnya, rataan aritmatika (Arithmetic Mean/AM) adalah nilai rata-rata pada barisan aritmatika. Baik secara parsial ataupun secara utuh.

Sebagai contoh :

  1. Nilai rata-rata dari deret 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 adalah \frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9+10}{10}=\frac{55}{10}=5.5
  2. Nilai rata-rata dari deret 1,2,3,4,5,6,7,8,9 adalah \frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9}{9}=\frac{45}{9}=5
  3. Nilai rata-rata dari deret 3,4,5,6,7,8,9 adalah \frac{3+4+5+6+7+8+9}{7}=\frac{42}{7}=6
  4. Nilai rata-rata dari deret 1,2,3,4,5,6,7 adalah \frac{1+2+3+4+5+6+7}{7}=\frac{28}{7}=4
  5. Nilai rata-rata dari deret 1,2,3,4 adalah \frac{1+2+3+4}{4}=\frac{10}{4}=2.5
  6. Nilai rata-rata dari deret 1,2,3 adalah \frac{1+2+3}{3}=\frac{6}{3}=2
  7. Nilai rata-rata dari deret 1,3 adalah \frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2
  8. Nilai rata-rata dari deret 2 adalah \frac{2}{1}=2

Apakah ada pola yang menarik?

Ada. Ternyata nilai rata-rata pada berbagai deret aritmatik di atas sangat dekat atau bahkan persis dengan nilai tengah (median) dari deret tersebut.

Secara umum, rataan aritmatika dirumuskan sebagai berikut :

AM=\frac{U_1+U_2+U_3+...+U_n}{n}

Jika kita ambil kasus sederhana yaitu deret dengan tiga buah suku U_1,U_2,U_3, maka AM=\frac{U_1+U_2+U_3}{3}.

Akan tetapi, ilmu barisan bilangan tidak berhenti sampai disitu saja. Perhatikan penjabaran berikut ini :

\begin{array}{llllclclc}3&.&AM&=&U_1&+&U_2&+&U_3\\3&.&AM&=&a&+&a+d&+&a+2d\\3&.&AM&=&3a+3d\\&&AM&=&a+d\\&&AM&=&a+(2-1)d\\&&AM&=&U_2\end{array}

Hal ini menarik perhatian kita karena secara langsung penjabaran di atas menyatakan bahwa AM=\frac{U_1+U_2+U_3}{3}=U_2

Ingat bahwa di bagian atas dari artikel ini kita telah membahas sifat kedua dari barisan aritmatika, yaitu U_m+U_{m+2n}=2.U_{m+n}. Dengan mengambil m=1 dan n=1 kita peroleh :

\begin{array}{lllll}U_m&+&U_{m+2n}&=&2.U_{m+n}\\U_1&+&U_{1+2.1}&=&2.U_{1+1}\\U_1&+&U_3&=&2.U_2\end{array}

Atau dengan menuliskan ke dalam bentuk lain kita peroleh \frac{U_1+U_3}{2}=U_2.

Apa yang sebenarnya terjadi? Mengapa rataan dari tiga buah suku dan dua buah suku menghasilkan hasil yang sama?

Mari kita bahas perlahan-lahan.

Misalkan k=m dan l=m+2n. Maka \frac{k+l}{2}=m+n.

Seperti yang sudah kita ketahui melalui sifat kedua dari barisan aritmatik, U_k dan U_l akan memiliki nilai rata-rata yang sama dengan U_{\frac{k+l}{2}}, yaitu suku yang berada di tengah-tengah mereka. Hal ini berlaku umum untuk setiap suku pada barisan aritmatik.

Bagaimana jika k+l tidak habis dibagi 2?

Jika k+l tidak habis dibagi 2, maka suku ke-\frac{k+l}{2} adalah suku fiktif. Walaupun demikian, konsepnya tidak berubah. Suku fiktif ini secara logis akan berada di tengah-tengah dari U_k dan U_l.

Dengan demikian, fenomena di atas dapat dijelaskan sebagai berikut :

\begin{array}{llllllll}&&U_1&+&U_3&=&2.U_2&\text{Rata-rata dari }U_1\text{ dan }U_3\text{ adalah }U_2\\&&&&U_2&=&U_2&\text{Tambahkan dengan }U_2\\-&-&-&-&-&-&---&+\\U_1&+&U_2&+&U_3&=&3.U_2\end{array}

Terlihat jelas bahwa nilai rata-rata dari U_1, U_2 dan U_3 adalah \frac{U_1+U_2+U_3}{3}=U_2 lagi.

Mari kita perbesar kasusnya dengan mencari rata-rata dari U_1,U_2,U_3,U_4,U_5 :

\begin{array}{llllllllllll}&&&&&&U_1&+&U_5&=&2.U_3&\text{Rata-rata dari }U_1\text{ dan }U_5\text{ adalah }U_3\\&&&&&&U_2&+&U_4&=&2.U_3&\text{Rata-rata dari }U_2\text{ dan }U_4\text{ adalah }U_3\\&&&&&&&&U_3&=&U_3&\text{Tambahkan dengan }U_3\\-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&---&+\\U_1&+&U_2&+&U_3&+&U_4&+&U_5&=&5.U_3\end{array}

Nilai-rata-rata dari U_1,U_2,U_3,U_4,U_5 adalah \frac{U_1+U_2+U_3+U+4+U_5}{5}=U_3, yaitu suku tengah (median) pada deret.

Mari kita lihat kasus parsial dengan mencari rata-rata dari U_4,U_5,U_6,U_7,U_8 :

\begin{array}{llllllllllll}&&&&&&U_4&+&U_8&=&2.U_6&\text{Rata-rata dari }U_4\text{ dan }U_8\text{ adalah }U_6\\&&&&&&U_5&+&U_7&=&2.U_6&\text{Rata-rata dari }U_5\text{ dan }U_7\text{ adalah }U_6\\&&&&&&&&U_6&=&U_6&\text{Tambahkan dengan }U_6\\-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&---&+\\U_4&+&U_5&+&U_6&+&U_7&+&U_8&=&5.U_6\end{array}

Nilai-rata-rata dari U_4,U_5,U_6,U_7,U_8 adalah \frac{U_4+U_5+U_6+U+7+U_8}{5}=U_6, yaitu suku tengah (median) pada deret.

Secara umum, bisa disimpulkan bahwa deret U_1,U_2,U_3,...,U_n akan memiliki nilai rata-rata yang sama dengan nilai rata-rata dari U_1,U_n, yaitu AM=\frac{U_1+U_n}{2}.

Atau, untuk kasus parsial seperti deret U_m,U_{m+1},U_{m+2},...,U_n, akan memiliki nilai rata-rata yang sama dengan nilai rata-rata dari U_m,U_n, yaitu AM=\frac{U_m+U_n}{2}.

Sifat ini amat sangat membantu kita untuk mencari nilai rata-rata dari sebuah deret aritmatika. Karena tidak perduli berapa banyaknya suku pada deret, kita dapat dengan mudah mencari nilai rata-rata dengan menghitung rata-rata dari dua buah suku saja. Yaitu rata-rata dari suku pertama dan suku terakhir. Atau secara parsial, suku ke-m dan suku ke-n.

Computer Holy Wars

Obat Ngantuk

  1. Dengan mengambil rentang 1\leq n\leq 150,
    1. Ada berapa banyak bilangan kelipatan 2 di rentang tersebut?
    2. Berapa jumlah bilangan kelipatan 2 di rentang tersebut?
    3. Ada berapa banyak bilangan kelipatan 3 di rentang tersebut?
    4. Berapa jumlah bilangan kelipatan 3 di rentang tersebut?
  2. Dengan mengambil rentang 1\leq n\leq 150,
    1. Ada berapa banyak bilangan kelipatan 2 atau 3 di rentang tersebut?
    2. Berapa jumlah bilangan kelipatan 2 atau 3 di rentang tersebut?
    3. Ada berapa banyak bilangan kelipatan 3 atau 5 di rentang tersebut?
    4. Berapa jumlah bilangan kelipatan 3 atau 5 di rentang tersebut?
  3. Konsep
    1. Barisan bilangan fibonacci adalah 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ….
      Apakah barisan bilangan fibonacci merupakan barisan bilangan aritmatika atau bukan? Jelaskan jawaban anda.
    2. Barisan bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
      Apakah barisan bilangan prima adalah barisan bilangan aritmatika atau bukan? Jelaskan jawaban anda.
  4. Bintang Carilah rumus suku ke-n (U_n) pada barisan-barisan bilangan di bawah ini dan jelaskan mengapa mereka bukan barisan bilangan aritmatika. Pembahasan ada di sini.
    1. Barisan pertama : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ….
    2. Barisan kedua : 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, …
    3. Barisan ketiga : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ….
    4. Barisan keempat : 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, …
  5. Bintang Misalkan U_1,U_2,U_3,...,U_k adalah sebuah barisan bilangan aritmatik.
    Diketahui U_4+U_7+U_{10}=17 dan U_4+U_5+U_6+...+U_{12}+U_{13}+U_{14}=77
    Carilah nilai k dimana U_k=13 (American High School Mathematics Examination). Pembahasan ada di sini.
  6. BintangBintang Hitunglah nilai dari \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{98.99}+\frac{1}{99.100}. Pembahasan ada di sini.
  7. Bintang Untuk T\in\mathbb{R}, diketahui tiga buah suku pertama pada barisan aritmatik adalah 2T, 5T-1 dan 6T+2. Berapakah nilai suku ke-4? Pembahasan ada di sini.
  8. Bintang Diketahui \frac{b+c-a}{a}, \frac{c+a-b}{b} dan \frac{a+b-c}{c} adalah tiga buah suku berurutan pada sebuah barisan aritmatik. Pembahasan ada di sini.
    Buktikan bahwa \frac{1}{a}, \frac{1}{b} dan \frac{1}{c} juga merupakan tiga buah suku berurutan pada sebuah barisan aritmatik (tidak harus barisan yang sama). Pembahasan ada di sini.
  9. Bintang Ada berapa banyak nilai n sedemikian rupa sehingga 1+2+3+4+...+n habis membagi 6n. (American Mathematics Competition 12^{th} grade). Pembahasan ada di sini.
  10. Bintang Dalam sebuah barisan aritmatika U_1,U_2,U_3..., diketahui U_8=2001. Jika jarak antar suku satu dengan suku yang lain (d) adalah sebuah bilangan bulat, berapa nilai minimum d agar U_{17}>10000? (Introduction to Algebra). Pembahasan ada di sini.
  11. BintangBintang Hitunglah nilai dari \frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+...+\frac{1}{5050}. Pembahasan ada di sini.
  12. Bintang Dalam sebuah deret aritmatika, diketahui fakta-fakta berikut :
    1. U_1+U_2+U_3+...+U_{100}=100
    2. U_{101}+U_{102}+U_{103}+...+U_{200}=200
    3. Berapakah nilai dari U_1? Pembahasan ada di sini.
  13. BintangBintangBintang Diketahui bahwa : (Pembahasan ada di sini)
    1. Setiap serangga tampan membelah diri menjadi seekor serangga buruk rupa dan seekor serangga bodoh.
    2. Setiap serangga buruk rupa membelah diri menjadi dua ekor serangga tampan.
    3. Setiap serangga bodoh membelah diri menjadi seekor serangga buruk rupa dan seekor serangga tampan.
    4. Serangga hanya membelah diri ketika dia mati.
    5. Masa hidup setiap serangga (tidak perduli jenisnya) adalah sama.
    6. Pada awalnya hanya ada seekor serangga tampan (origin of species). Serangga ini disebut sebagai serangga generasi pertama. Berapa jumlah
      1. Total seluruh serangga generasi ke-5?
      2. Serangga (masing-masing jenis) generasi ke-5?
      3. Total seluruh serangga generasi ke-n?
      4. Serangga (masing-masing jenis) generasi ke-n?

    Dept Math & Frustration

Buat situs web atau blog gratis di WordPress.com.