Catatan si Jay

November 12, 2010

3 Pangkat 2 Pangkat n

Filed under: Barisan Bilangan, Matematika — Hendra Jaya @ 12:58 pm

Problem

Hitunglah nilai dari

\frac{1}{3+1}+\frac{2}{3^2+1}+\frac{4}{3^4+1}+\ldots+\frac{2^{2009}}{3^{2^{2009}}+1}+\frac{2^{2010}}{3^{2^{2010}}+1}

Sumber

Post dari silvergrashopper di www.olimpiade.org. Soal aslinya telah sedikit dimodifikasi

Pra-Pembahasan

Sekedar menyegarkan ingatan, perhatikan beberapa sifat berikut :

  • {(x^a)}^b=x^{ab} untuk sembarang a,b,x\in\mathbb{R}
  • x^a.x^b=x^{a+b} untuk sembarang a,b,x\in\mathbb{R}
  • (x-y).(x+y)=x^2-y^2 untuk sembarang x,y\in\mathbb{R}

Misalkan kita ambil

x=3

a=2^n

b=2^1=2

Maka kita peroleh {(3^{2^n})}^2=3^{2^n.2}

Sekarang, karena 2^n.2=2^n.2^1=2^{n+1}

Maka nilai dari {(3^{2^n})}^2 dapat dituliskan sebagai :

{(3^{2^n})}^2=3^{2^n.2}=3^{2^{n+1}}

Pembahasan

Salah satu trik yang sangat ampuh dalam problem jenis ini adalah mengubah f(n) menjadi bentuk g(n)-g(n+1).

Pada problem ini, secara eksplisit dalam soal, diberitahu bahwa f(n)=\frac{2^n}{3^{2^n}+1}

Agar, tidak terlalu “ribet”, kita mulai manipulasi f(n) dari \frac{1}{3^{2^n}+1}

Melalui aljabar kita peroleh :

\begin{array}{rcll}\frac{1}{3^{2^n}-1}-\frac{1}{3^{2^n}+1}&=&\frac{(3^{2^n}+1)-(3^{2^n}-1)}{{(3^{2^n})}^2-1^2}\\\\&=&\frac{3^{2^n}+1-3^{2^n}+1}{3^{2^{n+1}}-1}\\\\&=&\frac{2}{3^{2^{n+1}}-1}\end{array}

Dengan demikian :

\begin{array}{ccccll}\frac{1}{3^{2^n}-1}&-&\frac{1}{3^{2^n}+1}&=&\frac{2}{3^{2^{n+1}}-1}\\\\\frac{1}{3^{2^n}-1}&-&\frac{2}{3^{2^{n+1}}-1}&=&\frac{1}{3^{2^n}+1}\\\\\frac{2^n}{3^{2^n}-1}&-&\frac{2^n.2}{3^{2^{n+1}}-1}&=&\frac{2^n}{3^{2^n}+1}&\mbox{Kalikan kedua sisi dengan }2^n\\\\\frac{2^n}{3^{2^n}-1}&-&\frac{2^{n+1}}{3^{2^{n+1}}-1}&=&\frac{2^n}{3^{2^n}+1}\end{array}

Bentuk di atas sungguh merupakan bentuk yang sangat sempurna untuk di-eksploitasi😉

Yaitu f(n)=\frac{2^n}{3^{2^n}+1} dapat ditulis ulang sebagai g(n)-g(n+1) dimana g(n)=\frac{2^n}{3^{2^n}-1}

Sekarang waktunya menjawab soal :

\begin{array}{lcl}N&=&\frac{1}{3+1}+\frac{2}{3^2+1}+\frac{4}{3^4+1}+\ldots+\frac{2^{2009}}{3^{2^{2009}}+1}+\frac{2^{2010}}{3^{2^{2010}}+1}\\\\&=&(\frac{2^0}{3^{2^0}-1}-\frac{2^1}{3^{2^1}-1})+(\frac{2^1}{3^{2^1}-1}-\frac{2^2}{3^{2^2}-1})+(\frac{2^2}{3^{2^2}-1}-\frac{2^3}{3^{2^3}-1})+\ldots+(\frac{2^{2009}}{3^{2^{2009}}-1}-\frac{2^{2010}}{3^{2^{2010}}-1})+(\frac{2^{2010}}{3^{2^{2010}}-1}-\frac{2^{2011}}{3^{2^{2011}}-1})\\\\&=&\frac{2^0}{3^{2^0}-1}+(\frac{2^1}{3^{2^1}-1}-\frac{2^1}{3^{2^1}-1})+(\frac{2^2}{3^{2^2}-1}-\frac{2^2}{3^{2^2}-1})+(\frac{2^3}{3^{2^3}-1}-\frac{2^3}{3^{2^3}-1})+\ldots+(\frac{2^{2010}}{3^{2^{2010}}-1}-\frac{2^{2010}}{3^{2^{2010}}-1})-\frac{2^{2011}}{3^{2^{2011}}-1}\\\\&=&\frac{2^0}{3^{2^0}-1}-\frac{2^{2011}}{3^{2^{2011}}-1}\\\\&=&\frac{1}{2}-\frac{2^{2011}}{3^{2^{2011}}-1}\end{array}

Introduction to Computer

Tinggalkan sebuah Komentar »

Belum ada komentar.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Buat situs web atau blog gratis di WordPress.com.

%d blogger menyukai ini: