Catatan si Jay

Oktober 20, 2010

Pertidaksamaan Garam

Filed under: Brain Teaser, Matematika, Pertidaksamaan — Hendra Jaya @ 5:16 am

wadah

Cerita

Wadah 1, dengan kapasitas b liter, diisi dengan garam sebanyak a sendok.
Wadah 2, dengan kapasitas d liter, diisi dengan garam sebanyak c sendok.
Kedua wadah terisi penuh dengan air lalu diaduk sehingga garam larut.

Kadar ke-asin-an air di wadah 1 dinyatakan dengan K_1=\frac{a}{b} dan ke-asin-an air di wadah 2 dinyatakan dengan K_2=\frac{c}{d}.
Keduanya dalam satuan yang sama, yaitu \frac{\text{sendok}}{\text{liter}}.

Asumsikan air di wadah 2 lebih asin air di wadah 2, yakni K_1<K_2.

Wadah 3, dengan kapasitas b+d liter, cukup untuk menampung air di wadah 1 dan wadah 2.

Air di wadah 1 dan di wadah 2 keduanya dituangkan ke wadah 3 lalu diaduk hingga rata. Sekarang, kita dapatkan konsentrat (kadar ke-asin-an) garam yang baru, yaitu K_3.

Pertanyaan

  1. Nyatakan konsentrat K_3 dalam variabel-variabel a, b, c dan d.
  2. Bagaimana relasi K_3 terhadap K_1 dan K_2?
  3. Carilah bilangan rasional \frac{a}{b} yang memenuhi \frac{1}{4}<\frac{a}{b}<\frac{1}{3} dengan syarat b<10. Tentu saja a,b\in\mathbb{Z}.
  4. Carilah bilangan rasional \frac{m}{n} yang memenuhi \frac{7}{10}<\frac{m}{n}<\frac{5}{7} dengan syarat n<20. Tentu saja m,n\in\mathbb{Z}.

Pembahasan

  1. Konsentrat yang baru K_3 berasal dari air sebanyak b+d liter dan garam sebanyak a+c sendok. Sehingga K_3=\frac{a+c}{b+d}.
  2. Secara intuitif, karena konsentrat 2 lebih asin dari konsentrat 1, yaitu K_1<K_2, maka konsentrat 3 (campuran) akan lebih asin dari konsentrat 1 tetapi kalah asin dari konsentrat 2. Secara matematis K_1<K_3<K_2.
    Jika kita tampilkan pertidaksamaan dalam bentuk a, b, c dan d akan kita peroleh \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}.
    Perhatikan baik-baik pembilang dan penyebut dari setiap bagian pertidaksamaan. Menarik bukan?
  3. Bilangan rasional yang “diapit” oleh \frac{1}{4} dan \frac{1}{3} dapat dicari dengan cara menjumlahkan pembilang dan menjumlahkan penyebut.
    Sehingga \frac{a}{b}=\frac{1+1}{4+3}=\frac{2}{7}.
    Tentu saja pertidaksamaan \frac{1}{4}<\frac{2}{7}<\frac{1}{3} ini benar.
  4. Dengan cara yang sama, kita peroleh \frac{m}{n}=\frac{7+5}{10+7}=\frac{12}{17}.
    Tentu saja pertidaksamaan \frac{7}{10}<\frac{12}{17}<\frac{5}{7} valid.

Pertidaksamaan \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d} berlaku umum dengan syarat a,b,c,d>0 dan a,b,c,d\in\mathbb{R}. Pembuktiannya diserahkan kepada pembaca. Selamat mencoba.

Sex Discrimination

Tinggalkan sebuah Komentar »

Belum ada komentar.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Buat situs web atau blog gratis di WordPress.com.

%d blogger menyukai ini: