Catatan si Jay

Oktober 19, 2010

Menghitung Digit

Filed under: Matematika, Puzzle — Hendra Jaya @ 5:26 am

Problem

Bilangan 2^{123456} adalah bilangan yang sangat besar. Berapa digit-kah panjang bilangan ini?

Pra-pembahasan 1 (Penyederhanaan Bentuk)

Misalkan \overline{abcd} adalah sebuah bilangan 4 digit. Maka berlaku pertidaksamaan berikut

\begin{array}{rllll}1000&\leq&\overline{abcd}&\leq&9999\\1000&\leq&\overline{abcd}&<&10000\\10^3&\leq&\overline{abcd}&<&10^4\end{array}

Atau secara umum, jika \overline{NUMBER} adalah bilangan n digit, maka berlaku 10^{n-1}\leq\overline{NUMBER}<10^n dimana n\geq 1\text{, }n\in \mathbb{Z}

Lebih jauh lagi, karena kita tahu bahwa log(x) adalah sebuah fungsi yang monoton naik, maka berlaku :

\begin{array}{rlllrllll}&&10^{n-1}&\leq&\overline{NUMBER}&<&10^n\\&&log(10^{n-1})&\leq&log(\overline{NUMBER})&<&log(10^n)\\(n-1)&.&log(10)&\leq&log(\overline{NUMBER})&<&n&.&log(10)\\(n-1)&.&1&\leq&log(\overline{NUMBER})&<&n&.&1\\&&n-1&\leq&log(\overline{NUMBER})&<&n\end{array}

Pra-Pembahasan 2 : (Fungsi Lain yang Serupa)

Kita tahu ada sebuah fungsi yang definisi-nya persis dengan pertidaksamaan di atas, yaitu fungsi floor(x)

Definisi : floor(x) di-definisikan sebagai \lfloor x\rfloor=m\leftrightarrow m\leq x<m+1

Atau jika dimodifikasi sedikit dengan melakukan operasi pengurangan, definisi menjadi \lfloor x-1\rfloor=m-1\leftrightarrow m-1\leq x-1<m

Jika kita misalkan x-1=\overline{NUMBER}.

Maka kita peroleh : \lfloor log(\overline{NUMBER})\rfloor=n-1\leftrightarrow n-1\leq log(\overline{NUMBER})<n

Atau sederhananya \lfloor log(\overline{NUMBER})\rfloor=n-1

Pembahasan

Diketahui : \overline{NUMBER}=2^{123456}

Ditanya : n

Jawab :

\begin{array}{rll}n-1&=&\lfloor log(2^{123456})\rfloor\\&=&\lfloor 123456.log(2)\rfloor\\&=&\lfloor 123456.(0.30102999)\rfloor\\&=&\lfloor 37163.95914469\rfloor\\n-1&=&37163\\n&=&37164\end{array}

Untuk mengatasi rasa tidak percaya dari pembaca yang kurang “beriman” terhadap logika dan matematika, berikut ini penulis sediakan hasil perhitungan yang sebenarnya dari 2^{123456}. Silahkan hitung sendiri banyaknya digit pada angka tersebut. Pelan-pelan saja, tidak usah terburu-buru :)

Memorizing PI

Tinggalkan sebuah Komentar »

Belum ada komentar.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Buat situs web atau blog gratis di WordPress.com.

%d blogger menyukai ini: