Catatan si Jay

September 29, 2010

WISNU + OPS = KEREN

Filed under: Puzzle — Hendra Jaya @ 12:41 pm

Pertama-tama.. perlu saya tegaskan bahwa nama saya bukan Wisnu. Jadi jauhkan praduga tak bersalah “narsis”. Walaupun demikian, pengarang teka-teki memang bernama Wisnu OPS.

Soalnya begini :

\begin{array} {llllll} W & I & S & N & U \\ & & O & P & S  \\ - & - & - & - & - & + \\ K & E & R & E & N \end{array}

  1. Carilah nilai (W – K) . (I – E).
  2. Carilah nilai variabel E, K, I, N, O, P, R, S, U, W yang memenuhi. Nilai tiap variabel berada di rentang 0 \leq X \leq 9, X \in \mathbb{Z}. Perhatikan bahwa nilai setiap variabel berbeda dengan variabel lainnya dan (tentu saja) setiap variabel konsisten

Sumber : Wisnu OPS

Pra-Pembahasan

Karena nilai variabel yang satu berbeda dengan yang lain, atau secara matematis X \neq Y, maka kita asumsikan saja X < Y yang memberikan kita sebuah pertidaksamaan :

0 \leq X < Y \leq 9

Perhatikan bahwa pertidaksamaan di atas secara implisit berbunyi “Nilai 0 hanya mungkin diambil oleh X” dan “Nilai 9 hanya mungkin diambil oleh Y”. Atau secara matematis

\begin{array}{cccccr} 0& \leq& X& \leq& 8 \\ 1& \leq& Y& \leq& 9 \\ -& -& ---& -& -& +\\ 1& \leq& X + Y& \leq& 17 \\ \end{array}

Pertidaksamaan terakhir menyatakan bahwa jumlah dua buah variabel X dan Y pasti lebih kecil dari 20. Pertidaksamaan ini menggaransi kita bahwa “carry” – jika ada – nilainya pasti 1.

Pembahasan Pertanyaan 1

Sekarang,

  • Mengapa tiba-tiba W berubah menjadi K walaupun tidak dijumlahkan dengan siapapun
  • Mengapa tiba-tiba I berubah menjadi E walaupun tidak dijumlahkan dengan siapapun?

Perubahan mendadak pada W dan I ini hanya bisa terjadi karena adanya “carry” dari penjumlahan sebelumnya. Penalaran ini membawa kita ke beberapa persamaan :

\begin{array}{lcccccc} \text{Persamaan 1 :}\hspace{1cm} W& +& 1& =& K \\ \hspace{35mm} W& -& K& =& -1 \\ \text{Persamaan 2 :}\hspace{1cm} I& +& 1& =& 10& +& E \\ \hspace{35mm} I& -& E& =& 9 \end{array}

Keterangan : Angka 10 datang karena penjumlahan ini menghasilkan carry.

Pertanyaan pertama bisa dijawab sekarang.

(W - K).(I - E) = -1.9 = -9

Pembahasan Pertanyaan 2

Lebih jauh lagi, karena 0 \leq I \leq 9, maka 1 \leq I + 1 \leq 10. Dari rentang 1 sampai 10, hanya ada satu nilai “overflow” yang menyebabkan carry. Yaitu 10. Pada saat I + 1 = 10, nilai I pastilah 9. Dengan demikian satu variabel pun terselesaikan. Yaitu I = 9.

Karena I + 1 = 10 + E, maka variabel kedua pun dapat diselesaikan dengan men-substitusikan I dengan 9. Kita peroleh  E = 0. Berikut kita tuliskan lagi semua variabel-variabel yang ada.

\begin{array} {llllll} _{1} & _{1} \\ W & 9 & S & N & U \\ & & O & P & S  \\ - & - & - & - & - & + \\ K & 0 & R & 0 & N \end{array}

Sekarang, karena N dan P keduanya jelas bukan 0, maka bisa disimpulkan terjadi overflow pada saat penjumlahan N dan P. Sehingga :

\begin{array} {llllll} _{1} & _{1} & _{1} \\ W & 9 & S & N & U \\ & & O & P & S  \\ - & - & - & - & - & + \\ K & 0 & R & 0 & N \end{array}

Bagaimana dengan U + S? Penjumlahan U dan S bisa overflow, bisa juga tidak. Oleh karena itu akan kita telaah kasus per kasus.

Kasus tidak overflow

Dalam kasus ini, kita bisa tuliskan beberapa persamaan yang kita ketahui :

\begin{array}{lccccccccccc} \text{Persamaan 3 :}\hspace{1cm} & & U& +& S& =& N \\ \text{Persamaan 4 :}\hspace{1cm} & & N& +& P& =& 10 \\ \text{Persamaan 5 :}\hspace{1cm} 1& +& S& +& O& =& 10& +& R \\ \hspace{35mm} & & S& +& O& =& 9& +& R \end{array}

Karena 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, maka kita bisa memperoleh persamaan berikutnya (6):

\begin{array}{ccccccccccccccccccccc} E& +& I& +& K& +& N& +& O& +& P& +& R& +& S& +& U& +& W& =& 45 \\ 0& +& 9& +& K& +& N& +& O& +& P& +& R& +& S& +& U& +& W& =& 45 \\& & & & K& +& N& +& O& +& P& +& R& +& S& +& U& +& W& =& 36 \end{array}

Sekarang, dengan menyelesaikan persamaan 3 dan 4, kita peroleh :

\begin{array}{lccccccccccc} \text{Persamaan 3 :}\hspace{1cm} & & U& +& S& =& N \\ \text{Persamaan 4 :}\hspace{1cm} & & N& +& P& =& 10 \\ \hspace{35mm} -& -& -& -& -& -& -& -& -& + \\ \text{Persamaan 7 :}\hspace{1cm} U& +& P& +& S& =& 10 \end{array}

Selanjutnya, kita selesaikan persamaan 3 dan 5 :

\begin{array}{lcccccccccccc} \text{Persamaan 3 :}\hspace{1cm} & & & & N& =& U& +& S& \\ \text{Persamaan 5 :}\hspace{1cm} & & S& +& O& =& 9& +& R \\ \hspace{35mm} & & -& -& -& -& -& -& -& -& -& + \\ \text{Persamaan 8 :}\hspace{1cm} & & N& +& O& =& 9& +& R& +& U \end{array}

Berikutnya, kita lihat apa yang bisa kita peroleh dengan mensubstitusikan beberapa persamaan ke persamaan 4.

Substitusi persamaan 1 ke persamaan 4 :

\begin{array}{ccccccccccccccccccccc} & & & & K& +& N& +& O& +& P& +& R& +& S& +& U& +& W& =& 36 \\ & & W& +& 1& +& N& +& O& +& P& +& R& +& S& +& U& +& W& =& 36 \\ & & & & & & N& +& O& +& P& +& R& +& S& +& U& +& 2W& =& 35  \end{array}

Ada kemajuan. Satu variabel, yaitu K, hilang.

Berikutnya, kita substitusi persamaan 7 ke persamaan 4

\begin{array}{ccccccccccccccccccccc} & & & & & & N& +& O& +& P& +& R& +& S& +& U& +& 2W& =& 35 \\ & & & & & & & & & & N& +& O& +& R& +& 10& +& 2W& =& 35 \\ & & & & & & & & & & & & N& +& O& +& R& +& 2W& =& 25 \end{array}

Triple kill. Tiga variabel hilang sekaligus. Kemajuan yang sangat berarti.

Berikutnya kita lihat peruntungan kita dengan men-substitusi persamaan 8 ke persamaan 4.

\begin{array}{ccccccccccccccccccccc} & & & & & & & & & & & & N& +& O& +& R& +& 2W& =& 25 \\ & & & & & & & & & & 9& +& R& +& U& +& R& +& 2W& =& 25 \\ & & & & & & & & & & & & & & U& +& 2R& +& 2W& =& 16 \end{array}

Yak. Tampaknya bentuk terakhir ini sangat membantu. Jelas sekali terlihat bahwa U haruslah bernilai genap.

Saya menggunakan programming untuk mempermudah pencarian. Walaupun demikian, tanpa bantuan programming pun kita bisa mencari kemungkinan-kemungkinan yang ada, asal sabar :)Sekarang, hanya ada tiga buah kuartet yang memenuhi “invarian-invarian” di atas, yaitu :

quartet

Sekarang, akan kita uji semua quartet di atas.

  1. Quartet 1 <2, 3, 5, 7> jika disubstitusikan ke dalam soal akan menghasilkan :
    \begin{array}{llllll} _{1} & _{1} & _{1} \\ W & 9 & 5 & 7 & 2 \\ & & O & 3 & 5 \\ - & - & - & - & - & + \\ K & 0 & R & 0 & 7 \end{array}
    Agar overflow, variabel O harus bernilai 4 \leq O \leq 9 . Yaitu {4, 5, 6, 7, 8, 9}. Karena 5, 7, dan 9 sudah dipakai, maka nilai O yang mungkin hanya {4, 6, 8}. Ketiga nilai ini akan memetakan R ke nilai {0, 2, 4}. Mengingat bahwa nilai 0 sudah dipakai oleh E dan 2 dipakai oleh U, maka duplet <O, R> yang memenuhi adalah <8, 4>.
    Dari 10 angka yang tersedia, yang tersisa tinggal angka 1 dan 6. Yang manapun dipilih, tidak akan ada yang bisa memenuhi persamaan 1. Quartet ini kita nyatakan gugur.
  2. Quartet 2 <2, 7, 1, 3> jika disubstitusikan ke dalam soal akan menghasilkan :
    \begin{array}{llllll} _{1} & _{1} & _{1} \\ W & 9 & 1 & 3 & 2 \\ & & O & 7 & 1 \\ - & - & - & - & - & + \\ K & 0 & R & 0 & 3 \end{array}
    Agar overflow, variabel O harus bernilai 8 \leq O \leq 9 . Yaitu {8, 9}. Karena 9 sudah dipakai, maka nilai O yang mungkin hanya {8}. Sayang seribu sayang, nilai ini akan memetakan R ke nilai {0}. Karena nilai 0 sudah dipakai oleh E, maka tidak ada nilai O yang memenuhi dan quartet ini pun gugur.
  3. Quartet 3 <6, 3, 1, 7> jika disubstitusikan ke dalam soal akan menghasilkan :
    \begin{array}{llllll} _{1} & _{1} & _{1} \\ W & 9 & 1 & 7 & 6 \\ & & O & 3 & 1 \\ - & - & - & - & - & + \\ K & 0 & R & 0 & 7 \end{array}
    Tampaknya, quartet ini juga akan gagal membentuk duplet <O, R>. Mari kita periksa. Agar overflow, variabel O harus bernilai 8 \leq O \leq 9 . Yaitu {8, 9}. Karena 9 sudah dipakai, maka nilai O yang mungkin hanya {8}. Sama seperti quartet yang sebelumnya, nilai 8 untuk O akan memetakan R ke nilai {0}. Karena nilai 0 sudah dipakai oleh E, maka tidak ada nilai O yang memenuhi dan quartet ini kita nyatakan gagal.

Tiga kuartet yang dihasilkan oleh asumsi “tidak Overflow” gugur semua. Hal ini menjamin kita untuk menyatakan bahwa asumsi “tidak overflow” bernilai salah. Saatnya pindah ke asumsi lain, yaitu “terjadi overflow”.

Kasus overflow

Kita tuliskan ulang persamaan-persamaan sebelumnya ke dalam versi “overflow”.

\begin{array} {llllll} _{1} & _{1} & _{1} & _{1} \\ W & 9 & S & N & U \\ & & O & P & S \\ - & - & - & - & - & + \\ K & 0 & R & 0 & N \end{array}

Persamaan-persamaan dasar :

\begin{array}{lccccccccccc} \text{Persamaan 3 :}\hspace{1cm} & & U& +& S& =& 10& +& N \\ \text{Persamaan 4 :}\hspace{1cm} 1& +& N& +& P& =& 10 \\ \hspace{35mm} & & N& +& P& =& 9 \\ \text{Persamaan 5 :}\hspace{1cm} 1& +& S& +& O& =& 10& +& R \\ \hspace{35mm} & & S& +& O& =& 9& +& R \end{array}

Jumlahkan persamaan 3 dan 4 :

\begin{array}{lccccccccccc} \text{Persamaan 3 :}\hspace{1cm} & & U& +& S& =& 10& +& N \\ \text{Persamaan 4 :}\hspace{1cm} & & N& +& P& =& 9 \\ \hspace{35mm} -& -& -& -& -& -& -& -& -& + \\ \text{Persamaan 7 :}\hspace{1cm} U& +& P& +& S& =& 19 \end{array}

Jumlahkan persamaan 3 dan 5 :

\begin{array}{lcccccccccccc} \text{Persamaan 3 :}\hspace{1cm} & & 10& +& N& =& U& +& S& \\ \text{Persamaan 5 :}\hspace{1cm} & & S& +& O& =& 9& +& R \\ \hspace{35mm} -& -& -& -& -& -& -& -& -& + \\ \text{Persamaan 8 :}\hspace{1cm} 1& +& N& +& O& =& R& +& U \end{array}

Substitusi persamaan 8 ke dalam persamaan 4 :

\begin{array}{ccccccccccccccccccccc} & & & & & & N& +& O& +& P& +& R& +& S& +& U& +& 2W& =& 35 \\ & & & & & & & & & & N& +& O& +& R& +& 19& +& 2W& =& 35 \\ & & & & & & & & & & & & N& +& O& +& R& +& 2W& =& 16 \end{array}

Substitusi persamaan 5 ke persamaan 4 :

\begin{array}{ccccccccccccccccccccc} & & & & & & & & & & & & N& +& O& +& R& +& 2W& =& 16 \\ & & & & & & & & & & 1& +& N& +& O& +& R& +& 2W& =& 17 \\ & & & & & & & & & & & & R& +& U& +& R& +& 2W& =& 17 \\ & & & & & & & & & & & & & & U& +& 2R& +& 2W& =& 17 \end{array}

Dari sini, jelas terlihat bahwa U haruslah ganjil. Seperti sebelumnya, saya akan permudah pencarian dengan menggunakan programming. Hasil pencarian saya memberikan empat buah quartet yang memungkinkan :

quartet

Sama seperti pada asumsi “tidak overflow”. Sekarang, kita akan periksa setiap quartet :

  1. Quartet 1 <5, 6, 8, 3> jika disubstitusikan ke dalam soal akan memberikan :
    \begin{array}{llllll} _{1} & _{1} & _{1} &_{1} \\ W & 9 & 8 & 3 & 5 \\ & & O & 6 & 8 \\ - & - & - & - & - & + \\ K & 0 & R & 0 & 3 \end{array}
    Agar overflow, variabel O harus berada di rentang 1 \leq O \leq 9 . Yaitu {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Karena 0, 3, 5, 6, 8, dan 9 sudah dipakai, maka nilai O yang mungkin adalah {1, 2, 4, 7}. Keempat nilai ini akan memetakan R ke nilai {0, 1, 3, 6}. Mengingat bahwa nilai 0, 3 dan 6 sudah dipakai oleh variabel-variabel lain, maka duplet <O, R> yang memenuhi adalah <2, 1>.
    Dari 10 angka yang tersedia, yang tersisa tinggal angka 4 dan 7. Yang manapun dipilih, tidak akan ada yang bisa memenuhi persamaan 1. Quartet ini kita nyatakan gugur.
  2. Quartet 2 <5, 8, 6, 1> jika disubstitusikan ke dalam soal akan memberikan :
    \begin{array}{llllll} _{1} & _{1} & _{1} &_{1} \\ W & 9 & 6 & 1 & 5 \\ & & O & 8 & 6 \\ - & - & - & - & - & + \\ K & 0 & R & 0 & 1 \end{array}
    Agar overflow, variabel O harus berada di rentang 3 \leq O \leq 9. Yaitu {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Karena 5, 6, 8, dan 9 sudah dipakai, maka nilai O yang mungkin adalah {3, 4, 7}. Nilai-nilai ini akan memetakan R ke dalam domain {0, 1, 4}. Mengingat 0 sudah dipakai oleh I dan 1 sudah dipakai oleh N, maka duplet <O, R> yang mungkin hanyalah <7, 4>. Dengan mengambil duplet ini, maka angka yang tersisa tinggal 2 dan 3. Nilai yang sempurna dengan persamaan 1. Dengan mengambil nilai W = 2, maka K = 3. Cocok. Satu solusi berhasil ditemukan, yaitu E = 0, I = 9, K = 3, N = 1, O = 7, P = 8, R = 4, S = 6, U = 5, W = 2.
  3. Quartet 3 <7, 4, 8, 5> jika disubstitusikan ke dalam soal akan menghasilkan :
    \begin{array}{llllll} _{1} & _{1} & _{1} &_{1} \\ W & 9 & 8 & 5 & 7 \\ & & O & 4 & 8 \\ - & - & - & - & - & + \\ K & 0 & R & 0 & 5 \end{array}
    Seperti yang sudah-sudah, agar menghasilkan suatu overflow, nilai O harus berada di rentang 1 \leq O \leq 9 . Yaitu {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Karena 4, 5, 7, 8, dan 9 sudah diambil oleh variabel lain, maka nilai O yang mungkin adalah {1, 2, 3, 6}.  Nilai-nilai ini akan memetakan R ke dalam nilai {0, 1, 2, 5}. Lagi-lagi, karena 0 dan 5 sudah dipakai oleh variabel lain, maka ada dua duplet <O, R> yang mungkin. Yaitu <2, 1> dan <3, 2>.
    Duplet <2, 1> akan menyisakan 3 dan 6 untuk W dan R. Tidak sesuai dengan keinginan kita, yaitu dua angka yang berturutan.
    Serupa dengan yang sebelumnya, duplet <3, 2> akan menyisakan 1 dan 6 untuk W dan R. Bukan dua angka yang berturutan seperti dinyatakan dalam persamaan 1.
  4. Quartet 4 <7, 8, 4, 1> jika disubstitusikan ke dalam soal akan memberi :
    \begin{array}{llllll} _{1} & _{1} & _{1} &_{1} \\ W & 9 & 4 & 1 & 7 \\ & & O & 8 & 4 \\ - & - & - & - & - & + \\ K & 0 & R & 0 & 1 \end{array}
    Untuk menghasilkan suatu overflow, maka O harus berada di rentang 5 \leq O \leq 9. Yaitu {5, 6, 7, 8, 9}. Sekarang, karena 7, 8, dan 9 sudah diklaim oleh variabel lain. Maka nilai O yang mungkin adalah {5, 6}. Masing-masing nilai O ini akan memetakan R ke dalam domain {0, 1}. Angka 0 sudah dipakai oleh I dan angka 1 sudah dipakai oleh N. Tidak ada duplet <O, R> yang memungkinkan dan dengan demikian quartet ini pun tidak bisa memberikan solusi.

Dari keempat quartet yang ada, hanya satu solusi yang bisa kita dapatkan, yaitu E = 0, I = 9, K = 3, N = 1, O = 7, P = 8, R = 4, S = 6, U = 5, W = 2. Dengan mensubstitusikan variabel-variabel ini kita memperoleh hasil akhir yang diinginkan :

\begin{array} {cccccc} 2& 9& 6& 1& 5 \\ & & 7& 8& 6 \\ -& -& -& -& -& + \\ 3& 0& 4& 0& 1 \end{array}

Trivial

  1. Wisnu mengklaim bahwa hanya ada satu solusi yang memenuhi. Wisnu benar.
  2. Wisnu mengklaim bahwa dirinya tidak narsis. Sepertinya Wisnu salah🙂

You're Wonderful

2 Komentar »

  1. Sumpah gue nggak narsis, jay… hahahaha….. math reasoning lo mangstab parah! Cool! Btw, ini soal yang gue tulis di blog gue: http://wisnuops.net/blog/?page_id=48 (ini nggak termasuk narsis kan? :p)

    Komentar oleh wisnu ops — September 29, 2010 @ 2:19 pm

    • Itu narsis nu. No doubt about it. Huehuehue.
      Tapi menarik abis puzzle-nya😀

      Komentar oleh Hendra Jaya — September 30, 2010 @ 4:38 am


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Buat situs web atau blog gratis di WordPress.com.

%d blogger menyukai ini: