Hitunglah nilai dari

Sumber

Post dari silvergrashopper di www.olimpiade.org. Soal aslinya telah sedikit dimodifikasi

Pra-Pembahasan

Sekedar menyegarkan ingatan, perhatikan beberapa sifat berikut :

• untuk sembarang

• untuk sembarang

• untuk sembarang

Misalkan kita ambil

Maka kita peroleh

Sekarang, karena

Maka nilai dari dapat dituliskan sebagai :

Pembahasan

Salah satu trik yang sangat ampuh dalam problem jenis ini adalah mengubah menjadi bentuk .

Pada problem ini, secara eksplisit dalam soal, diberitahu bahwa

Agar, tidak terlalu “ribet”, kita mulai manipulasi dari

Melalui aljabar kita peroleh :

Dengan demikian :

Bentuk di atas sungguh merupakan bentuk yang sangat sempurna untuk di-eksploitasi

Yaitu dapat ditulis ulang sebagai dimana

Sekarang waktunya menjawab soal :

Hitunglah nilai dari

Sumber

Post dari aldo di www.olimpiade.org. Soal aslinya telah sedikit di-modifikasi

Pembahasan

Penulis akui bahwa penulis sedikit bingung apakah hasil perhitungan berupa bilangan rasional atau irasional. Tetapi, secara psikologis penulis yakin bahwa hasil akhirnya pasti berupa bilangan rasional.

Berangkat dari sini, manipulasi aljabar akan sangat dibutuhkan. Masalahnya adalah “Manipulasi yang seperti apa?”

Beberapa cara akan kita coba. Identitas aljabar yang perlu diingat pertama kali adalah

Dengan identitas ini diharapkan terjadi ‘keajaiban’ bahwa manipulasi aljabar akan dapat menyingkirkan tanda akar () yang sangat mengganggu.

Dari sini, kita coba aljabar pertama, yaitu :

Cukup mirip dengan yang kita inginkan, tetapi belum sesuai. Mari kita coba aljabar kedua :

Sepertinya aljabar yang terakhir memang aljabar yang kita inginkan. Agar bentuk yang terakhir sama persis dengan apa yang kita inginkan, kita ambil :

sehingga :

Voila! Persis dengan yang kita inginkan. Suatu bentuk ‘ajaib’ yang bisa meng-eliminasi tanda akar ()dengan mudah

Dari sini kita peroleh :

Dengan memanfaatkan sepenuh-penuhnya bentuk terakhir, kita dapat menjawab soal dengan mudah :

• Kemunculan karakter ’1′ pada angka 10 adalah 1
• Kemunculan karakter ’1′ pada angka 51 adalah 1
• Kemunculan karakter ’1′ pada angka 11 adalah 2
• Kemunculan karakter ’1′ pada angka 121 adalah 2
• Kemunculan karakter ’1′ pada angka 1141 adalah 3
• dst…

Pertanyaannya :

• Diketahui .
  • Berapa banyak bilangan di dalam himpunan tersebut yang mengandung karakter ’1′?
  • Berapa kali karakter ’1′ muncul di dalam himpunan ?

• Misalkan adalah himpunan seluruh bilangan n-digit.
  • Berapa banyak bilangan di dalam himpunan yang mengandung karakter 1?
  • Berapa kali karakter ’1′ muncul pada himpunan tersebut?

Sumber : Nanda Daiva Putra

Referensi : 10th Binomial Transform dan Number of “9ish numbers” with n digits

Pra-Pembahasan 1 (Leading Zero)

Normalnya, awalan 0 (leading zero) tidak diperbolehkan dalam menulis angka. Sebagai contoh :

• Penulisan 06 dianggap tidak valid, yang valid adalah 6
• Penulisan 029 dianggap tidak valid, yang valid adalah 29

Sehingga :

Banyaknya bilangan 1 digit yang dapat dibentuk adalah 9
Banyaknya bilangan 2 digit yang dapat dibentuk adalah 9 . 10 = 90
Banyaknya bilangan 3 digit yang dapat dibentuk adalah 9 . 10 . 10 = 900
dst..

Namun, seandainya leading zero diperbolehkan, yaitu setiap karakter pada himpunan boleh dipakai, maka :

Banyaknya bilangan 1 digit yang dapat dibentuk adalah 10
Banyaknya bilangan 2 digit yang dapat dibentuk adalah 10 . 10 = 100
Banyaknya bilangan 3 digit yang dapat dibentuk adalah 10 . 10 . 10 = 1000
dst…

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa :

1. Banyaknya bilangan n-digit yang dapat dibentuk jika awalan 0 tidak diperbolehkan (non-leading zero) adalah
2. Banyaknya bilangan n-digit yang dapat dibentuk jika awalan 0 (leading zero) diperbolehkan adalah

Pra-Pembahasan 2 (Kemunculan Karakter ’1′ pada Leading Zero)

Jika awalan 0 (non-leading zero) tidak diperbolehkan, maka :

Bilangan-bilangan 1 digit yang mengandung karakter ’1′ adalah
Banyaknya bilangan 1 digit yang mengandung karakter ’1′ adalah 1 buah.
Total kemunculan karakter ’1′ pada bilangan 1 digit adalah 1 kali.

Bilangan-bilangan 2 digit yang mengandung karakter ’1′ adalah
Banyaknya bilangan 2 digit yang mengandung karakter ’1′ adalah 18 buah.
Total kemunculan karakter ’1′ pada bilangan 2 digit adalah 19 kali.

Jika awalan 0 (leading zero) diperbolehkan, maka :

Bilangan-bilangan 1 digit yang mengandung karakter ’1′ adalah
Banyaknya bilangan 1 digit yang mengandung karakter ’1′ adalah 1 buah.
Total kemunculan karakter ’1′ pada bilangan 1 digit adalah 1 kali.

Bilangan-bilangan 2 digit yang mengandung karakter ’1′ adalah
Banyaknya bilangan 2 digit yang mengandung karakter ’1′ adalah 19 buah.
Total kemunculan karakter ’1′ pada bilangan 2 digit adalah 20 kali.

Mengapa terdapat perbedaan antara kasus leading zero dan kasus non-leading zero?

Jawabannya terletak pada leading zero itu sendiri.

Pada kasus non-leading zero, bilangan 1 tidak akan muncul pada bilangan 2-digit karena bilangan 1 hanya terdiri dari 1 buah digit. Selamanya begitu. Tidak bisa “naik pangkat” menjadi bilangan 2-digit.

Sebaliknya, pada kasus leading zero, bilangan 1 akan muncul pada bilangan 2-digit. Yaitu dengan memberikan awalan 0 (leading zero) pada bilangan 1, maka akan dihasilkan bilangan baru 01 yang panjangnya 2 digit. Kita katakan “1 naik pangkat menjadi bilangan 2-digit”.

Dari logika ini, semua bilangan 1-digit akan naik pangkat menjadi bilangan 2-digit, lalu naik pangkat menjadi bilangan 3-digit, dan seterusnya sampai menjadi bilangan n-digit.
Dari logika yang sama, semua bilangan 2-digit akan naik pangkat menjadi bilangan 3-digit, lalu naik pangkat menjadi bilangan 4-digit, dan seterusnya sampai menjadi bilangan n-digit.
dst..
Begitu pula dengan bilangan (n-1)-digit. Bilangan ini akan naik pangkat menjadi bilangan n-digit.

Lantas, apa hubungan antara bilangan non-leading zero dan leading zero?

Misalkan :

• adalah fungsi yang menghitung banyaknya kemunculan ’1′ pada seluruh bilangan n-digit non-leading zero.

• adalah fungsi yang menghitung banyaknya kemunculan ’1′ pada seluruh bilangan n-digit leading zero.

Secara intuitif kita tahu bahwa pasti lebih besar dari . Hal ini cukup jelas juga secara matematis, mengingat bilangan-bilangan yang leading zero boleh menggunakan 0, sementara bilangan-bilangan yang non-leading zero tidak.

Cukup jelas juga bahwa selisih antara dan berasal dari bilangan-bilangan yang “naik pangkat”.

Lantas, berapa banyak bilangan-bilangan yang “naik pangkat”?

Semua bilangan-bilangan berdigit lebih kecil dari akan naik pangkat. Mulai dari berdigit 1 sampai berdigit n-1.

Banyaknya bilangan berdigit 1 yang naik pangkat adalah
Banyaknya bilangan berdigit 2 yang naik pangkat adalah
Banyaknya bilangan berdigit 3 yang naik pangkat adalah
dst…
Banyaknya bilangan berdigit n-1 yang naik pangkat adalah

Sehingga, total bilangan yang naik pangkat adalah

Jika dikembalikan ke relasi antara dan , maka akan kita peroleh :

Pra-Pembahasan 3 (Sebaran Bilangan yang Mengandung karakter ’1′ Pada Bilangan n-digit Leading Zero)

Misalkan pada seluruh bilangan n-digit leading zero, terdapat :

• buah bilangan yang mengandung karakter ’1′

• buah bilangan yang tidak mengandung karakter ’1′

• buah kemunculan karakter ’1′.

Jelas sekali bahwa relasi antara dan adalah

Selanjutnya, kita asumsikan :

• Ada buah bilangan yang mengandung 1 buah karakter ’1′
• Ada buah bilangan yang mengandung 2 buah karakter ’1′
• Ada buah bilangan yang mengandung 3 buah karakter ’1′
• dst…
• Ada buah bilangan yang mengandung n-1 buah karakter ’1′
• Ada buah bilangan yang mengandung n buah karakter ’1′

Banyaknya bilangan yang mengandung karakter ’1′ adalah alias .
Sehingga kita peroleh invarian

Sebaliknya, banyaknya kemunculan karakter ’1′ adalah alias .
Sehingga kita peroleh invarian lainnya, yakni

Bagaimana dengan , adakah cara untuk menghitungnya?

Untuk mencari nilai tidak terlalu sulit. Cukup menggunakan “pohon kemungkinan”.

Karena terdiri dari n-digit dan leading zero, maka setiap digit-nya boleh menggunakan bilangan-bilangan pada himpunan yang banyaknya (kardinalitas) ada 9 buah. Sehingga :

Pembahasan

Misalkan adalah sebuah bilangan digit.

Bilangan ini dapat kita pecah menjadi 2 bagian yaitu dan dimana :

• jelas merupakan bilangan 1 digit dan tidak boleh dimulai dengan 0 (non-leading zero).
  Sehingga himpunan bilangan yang mungkin untuk adalah .

• Sedikit berbeda, merupakan bilangan (n-1)-digit yang boleh dimulai dari 0.
  Sehingga himpunan bilangan yang mungkin untuk adalah .

Secara intuitif, kita dapat menyadari bahwa munculnya karakter ’1′ hanya mungkin terjadi dalam 3 buah kasus, yaitu :

1. Karakter ’1′ hanya disumbangkan oleh
2. Karakter ’1′ hanya disumbangkan oleh
3. Karakter ’1′ disumbangkan oleh kedua pihak, yaitu dan

Kasus 1

Karena karakter ’1′ hanya disumbangkan oleh , berarti :

• Hanya ada 1 buah nilai yang mungkin untuk

• Ada buah nilai yang mungkin untuk

Sehingga :

• Banyaknya bilangan yang mengandung ’1′ pada kasus 1 adalah

• Banyaknya kemunculan karakter ’1′ ada sebanyak kali

Catatan : Walaupun tidak memiliki satupun karakter ’1′, namun berjumlah buah. Ketika dipasangkan dengan maka akan muncul buah karakter ’1′ yang baru.

Kasus 2

Dalam kasus ini, karakter ’1′ hanya disumbangkan oleh , yang berarti :

• Ada 8 buah nilai yang mungkin untuk , yaitu

• Ada buah nilai yang mungkin untuk

• Ada buah kemunculan karakter ’1′ pada

Sehingga :

• Banyaknya bilangan yang mengandung ’1′ pada kasus 2 adalah

• Banyaknya kemunculan karakter ’1′ ada sebanyak kali

Kasus 3

Kasus ini adalah kasus yang paling tricky. Perhatikan bahwa :

• Ada 1 buah nilai yang mungkin untuk

• Ada buah nilai yang mungkin untuk

• Ada buah kemunculan karakter ’1′ pada

Sebaran dari adalah
Ketika digabungkan dengan , sebarannya akan naik menjadi .

Catatan : Kenaikan sebaran terjadi karena terjadi penggabungan (concatenation) dengan karakter ’1′ yang berasal dari .  Sebagai contoh, bilangan 31216 semula memiliki 2 buah karakter ’1′. Ketika dibubuhi prefix ’1′ akan menjadi 131216 yang mengandung 3 buah karakter ’1′.

Jika disederhanakan, bentuk di atas akan menjadi :

Sehingga :

• Banyaknya bilangan yang mengandung ’1′ pada kasus 3 adalah

• Banyaknya kemunculan karakter ’1′ ada sebanyak kali

Rumus Umum Untuk Menghitung Banyaknya Bilangan n-digit yang Mengandung Karakter ’1′

Untuk mencari rumus umum banyaknya bilangan pengandung karakter ’1′ akan kita gabungkan ketiga kasus :

Karena adalah banyaknya bilangan pada yang tidak mengandung karakter ’1′, maka nilai dari adalah

Dengan mensubstitusikan kita peroleh :

Rumus di atas adalah rumus umum untuk mencari banyaknya bilangan n-digit yang mengandung karakter ’1′ di dalamnya.

Rumus Umum Untuk Menghitung Kemunculan Karakter ’1′ Pada Bilangan n-digit

Sama seperti sebelumnya, untuk mencari rumus umum kemunculan, akan kita gabungkan ketiga kasus :

Kita peroleh rumus umum untuk mencari . Mari kita cicip rumus kita :

Walaupun rumus ini dapat memberikan hasil perhitungan dengan benar, namun rumus ini kurang ‘pas’ untuk diandalkan karena rumus ini bersifat rekursif dan sangat tergantung pada hasil-hasil perhitungan pada digit-digit sebelumnya.

Sekarang akan kita coba untuk memodifikasi rumus ini menjadi sedikit lebih baik. Perhatikan beberapa aljabar di bawah ini :

dst…

Catatan : Aljabar di atas bukan pembuktian matematika yang sah. Walaupun demikian, pola aljabar di atas akan terus berulang-ulang dan hasilnya akan sama seperti yang ada di atas. Pembuktian matematis yang sah diserahkan kepada pembaca.

Sekarang, kita dapat menghitung dengan mudah, tanpa harus rekursif lagi

Rumus yang terakhir ini adalah rumus yang kita inginkan. Rumus ini mampu “loncat” langsung ke digit yang kita inginkan tanpa harus menghitung satu persatu setiap digit mulai dari 1, 2, 3, …, sampai n-1.

Jawaban Atas Pertanyaan

Terkait dengan pertanyaan yang diajukan di awal artikel.

1. Banyaknya bilangan di dalam himpunan tersebut yang mengandung karakter ’1′ ada sebanyak :
   
2. Banyaknya kemunculan karakter ’1′ ada sebanyak :
   

Catatan : Perhatikan bahwa dalam soal di atas penulis mengasumsikan bahwa 1 dan 1000 diikutsertakan dalam perhitungan (inclusive). Dengan demikian rentang 1-1000 melibatkan 3 buah digit, yaitu digit 1, digit 2, dan digit 3 plus angka 1000 itu sendiri.

Angka 1 pada perhitungan di atas datang dari angka 1000 yang banyaknya ada 1 dan jelas sekali mengandung karakter ’1′ di dalamnya.

Artikel ini ditulis untuk menjelaskan, secara matematis tentunya, mengapa “Sulap Tanggal Lahir” dapat dilakukan.

Referensi

Ada banyak sekali metode untuk melakukan sulap tanggal lahir. Berikut ini penulis sajikan dua buah di antaranya.

• Tebak tanggal lahir seseorang dengan rumus (Vindelz mathematic)

• Tebak tanggal lahir (Vindelz mathematic)

Sulap 1

• Kalikan tanggal lahir anda dengan 4, simpan hasilnya.
• Tambahkan angka tersebut dengan 13, simpan hasilnya.
• Kalikan angka tersebut dengan 25, simpan hasilnya.
• Kurangi angka tersebut dengan 200, simpan hasilnya.
• Tambahkan bulan lahir anda pada angka tersebut, simpan hasilnya.
• Kalikan angka tersebut dengan 2, simpan hasilnya.
• Kurangi angka tersebut dengan 40, simpan hasilnya.
• Kalikan angka tersebut dengan 50, simpan hasilnya.
• Tambahkan dua digit tahun kelahiran anda pada angka tersebut, simpan hasilnya

Pesulap lalu meminta angka tersebut dan melakukan operasi berikut :

• Angka yang diperoleh dikurangi 10500
• Sisanya adalah tanggal lahir korban dalam format “ddmmyy”

Sebagai contoh, penulis akan ambil tanggal lahir dedek tersayang , yaitu 17 Oktober 1985 (Bentuk lain : 17-10-1985)

• Kalikan tanggal lahir dengan 4. Angka = 17 x 4 = 68
• Tambahkan dengan 13. Angka = 68 + 13 = 81
• Kalikan dengan 25. Angka = 81 x 25 = 2025
• Kurangi dengan 200. Angka = 2025 – 200 = 1825
• Tambahkan bulan lahir. Angka = 1825 + 10 = 1835
• Kalikan dengan 2. Angka = 1835 x 2 = 3670
• Kurangi dengan 40. Angka = 3670 – 40 = 3630
• Kalikan dengan 50. Angka = 3630 x 50 = 181500
• Tambahkan 2 digit tahun lahir. Angka = 181500 + 85 = 181585

Korban lalu memberikan angka 181585 ini kepada pesulap dan pesulap pun (secara diam-diam) melakukan :

• Kurangi dengan 10500. Angka = 181585 – 10500 = 171085
• Angka ini lalu dipecah-pecah menjadi 3 bagian, yaitu 17-10-85

Abrakadabra pun terjadi. Pesulap tinggal mengatakan “Saudari Nurul, benarkah anda lahir pada tanggal 17, bulan 10 tahun 85?”

Sulap 2

• Kalikan tanggal lahir anda dengan 5, lalu simpan hasilnya.
• Tambahkan angka tersebut dengan 5, simpan hasilnya.
• Kalikan angka tersebut dengan 20, simpan hasilnya.
• Kurangi angka tersebut dengan 85, simpan hasilnya. (Dimodifikasi sedikit oleh penulis)
• Tambahkan bulan lahir anda pada angka tersebut, simpan hasilnya.
• Kalikan angka tersebut dengan 2, simpan hasilnya.
• Kurangi angka tersebut dengan 60, simpan hasilnya.
• Kalikan angka tersebut dengan 50, simpan hasilnya.
• Tambahkan 2 digit terakhir tahun kelahiran anda pada angka tersebut, simpan hasilnya.

Pesulap lalu meminta angka tersebut dan melakukan operasi berikut :

• Angka yang diperoleh ditambah dengan 1500
• Sisanya adalah tanggal lahir korban dalam format “ddmmyy”

Catatan : Penulis – dengan sengaja – memodifikasi sulap 2 agar sedikit lebih singkat. Pada versi asli (lih. referensi), dilakukan satu buah “pengurangan dengan 100″ lalu “penambahan dengan 15″. Kedua operasi aritmatika ini penulis sederhanakan menjadi satu buah “pengurangan dengan 85″.

Masih dengan contoh yang sama, yaitu tanggal lahir dedek tersayang , 17 Oktober 1985 alias 17-10-1985.

• Kalikan tanggal lahir anda dengan 5. Angka = 17 x 5 = 85
• Tambahkan dengan 5. Angka = 85 + 5 = 90
• Kalikan dengan 20. Angka = 90 x 20 = 1800
• Kurangi dengan 85. Angka = 1800 – 85 = 1715
• Tambahkan bulan lahir anda. Angka = 1715 + 10 = 1725
• Kalikan dengan 2. Angka = 1725 x 2 = 3450
• Kurangi dengan 60. Angka = 3450 – 60 = 3390
• Kalikan dengan 50. Angka = 3390 x 50 = 169500
• Tambahkan 2 digit terakhir tahun lahir anda. Angka = 169500 + 85 = 169585

Tanpa curiga, korban memberitahukan angka 169585 ini kepada pesulap dan pesulap pun langsung melakukan :

• Tambahkan dengan 1500. Angka = 169585 + 1500 = 171085
• Memecah angka ini menjadi 3 bagian, yaitu 17-10-85

Abrakadabra pun terjadi. Dengan sedikit acting, pesulap berujar “Sepertinya ada kesalahan disini… Tanggal lahir saudari Nurul adalah 17 Oktober 1985. Benarkah begitu?”

Pra-Pembahasan

Tanggal lahir adalah
Bulan lahir adalah
Dua digit terakhir tahun lahir adalah
Angka yang dihitung oleh korban adalah
Nilai yang sudah “dimanipulasi” oleh pesulap adalah

Aljabar Sulap 1

Aljabar Sulap 2

Pembahasan

Angka yang saat ini dipegang oleh pesulap, yaitu , me-representasikan tanggal-bulan-tahun lahir si korban dalam format “ddmmyy”.
Berikut penjelasannya :

Misalkan adalah sebuah bilangan 2 digit, dimana digit pertama adalah dan digit kedua adalah . Secara matematis

Misalkan adalah sebuah bilangan 2 digit, dimana digit pertama adalah dan digit kedua adalah . Secara matematis

Digit pertama pada kita namai dan digit kedua kita namai . Secara matematis

Akan kita peroleh :

Jika di-representasikan dalam penjumlahan akan berbentuk seperti :

Sekarang, karena :

adalah tanggal lahir
adalah bulan lahir
adalah 2 digit terakhir tahun lahir

Maka nilai akan secara tegas menyatakan tanggal-bulan-tahun lahir si korban dalam format “ddmmyy”. Pesulap hanya perlu membacakannya dengan sedikit berpura-pura terkejut

Bagaimana jika tanggal/bulan/tahun lahir adalah bilangan 1 digit?

Tidak ada masalah

Jika tanggal lahir adalah bilangan 1 digit, maka nilai yang semula berupa bilangan 6 digit, kini akan berbentuk bilangan 5 digit. Sedikit lebih jauh, jumlah digit pada hanya bergantung kepada tanggal lahir. Seorang pesulap yang handal pasti sudah menyadari hal ini.

Jika bulan lahir adalah bilangan 1 digit, maka bilangan yang dihasilkan tidak berubah digit-nya. Satu-satunya dampak yang perlu disadari hanyalah digit ke-4 dari kanan, yakni , bernilai 0.

Jika tahun lahir adalah bilangan 1 digit-pun tidak ada masalah. Sama seperti sebelumnya, satu-satunya efek yang timbul hanyalah digit ke-2 dari kanan, yakni , bernilai 0.

Untuk tahun lahir kita ambil contoh .

Dalam ilmu matematika yang “buta”, kita tidak bisa memastikan apakah bermakna 1801 atau 1901, 2001 dan seterusnya. Hal ini wajar mengingat bilangan-bilangan …, 1801, 1901, 2001,… semuanya kongruen dengan dalam modulo 100. Tetapi, selisih 1 abad jelas memberikan efek fisik yang kuat. Seseorang yang lahir di tahun 1901 jelas akan terlihat “berbeda” dengan orang yang lahir di tahun 2001. Untuk membedakannya tentu bukan perkara yang sulit.

Binary Logarithm

Pra-Pembahasan

Artikel ini akan membahas implementasi teknis tentang algoritma menghitung logaritma. Dimulai dari logaritma basis 2 (binary logarithm) sampai ke basis yang lain. Artikel ini mengasumsikan pembaca sudah memahami sifat-sifat dasar logaritma seperti :

Logaritma dalam basis 2 secara matematis dinyatakan sebagai atau ada pula yang menuliskan

Pembahasan

Setiap bilangan real positif selalu dapat ditulis dalam basis 2 (biner), maka berlaku dimana .
Perhatikan bahwa persamaan hanya terjadi jika dan hanya jika adalah bilangan kelipatan 2 (power of two).

Sebagai contoh :

Secara sekilas dapat kita lihat bahwa tidak selalu berupa bilangan bulat. Nilai hanya akan bulat, yaitu , jika dan hanya jika adalah bilangan kelipatan 2 (power of two). Hal ini senada dengan paragraf sebelumnya.

Namun, untuk yang tidak bulat, maka nilainya pasti berada di rentang dan .
Atau secara matematis

Contoh lagi :

Sekarang, melalui aljabar sederhana, kita bisa memperoleh :

Di dalam bagian terakhir pertidaksamaan kita peroleh dimana

Dari bentuk , pembaca seharusnya dapat memaklumi bahwa adalah bagian bulat (integer part) dari sedangkan adalah bagian tidak bulat (fractional part). Seperti sudah dijelaskan di beberapa paragraf sebelum ini.

Untuk menghitung bagian yang bulat dapat dilakukan dengan mudah. Yaitu cukup dengan mengalikan/membagi dengan 2 secara terus menerus sampai diperoleh .

Mengingat nilai adalah 0 dan nilai dari adalah 1, maka nilai dari sekarang pasti berupa Nilai inilah yang dimaksud dengan “bagian tidak bulat”.

Lantas, bagaimana menghitung bagian yang tidak bulat-nya?

Untuk menghitung bagian yang tidak bulat akan kita lakukan trik “mengkuadratkan terus menerus”.

Karena , kuadratkan bagian tengah menjadi

Karena , kuadratkan bagian tengah menjadi

Karena , kuadratkan bagian tengah menjadi

…

Berhenti ketika .

Triknya cukup mudah dimengerti. Yaitu kuadratkan terus sampai bagian tengah lebih besar atau sama dengan 2.

Intermezzo

Mengapa trik ini dapat dipakai?

Suatu bilangan jika dikuadratkan berkali-kali pasti akan “berkembang” sehingga pada akhirnya menembus angka 2. Kita tidak tahu berapa kali “pengkuadratan” yang diperlukan. Yang pasti, cepat atau lambat pasti bilangan tersebut akan menembus angka 2.

Sebagai contoh angka 1.001 baru akan menembus 2 pada saat dipangkatkan dengan 694, yakni .
Di lain pihak, angka 1.2 sudah menempus angka 2 saat dipangkatkan dengan 4, yakni .

Mungkinkah bilangan tersebut – ketika menembus angka 2 – juga menembus angka 4?

Ketika menembus angka 2 yang pertama kalinya, bilangan tersebut tidak akan menembus angka 4 karena :

Saatnya kembali ke pembahasan algoritma logaritma.

Sekarang, jika kita misalkan , tentu saja berlaku . Dengan membagi ketiga bagian pertidaksamaan dengan 2 kita peroleh

Karena dan , maka :

Kita peroleh . Ingat bahwa sebelumya kita telah mengetahui bahwa , sehingga trik yang sama dapat kita lakukan :

Dengan meng-kuadratkan secukupnya, kita peroleh

Misalkan , maka atau

Dengan men-substitusikan , kita peroleh :

Dengan teknik yang sama, kita peroleh .

Lalu di-substitusikan menjadi :

Dan seterusnya…

Sehingga bentuk umum-nya dapat dituliskan sebagai :

atau ekivalen dengan :

atau jika ditulis ke dalam bentuk yang lebih seragam :

Sampai disini kita telah dapat menghitung bagian tidak bulat (fractional part) dari .
Dengan menggabungkan bagian bulatnya kita peroleh

Dimana :

adalah sembarang bilangan real positif, dan
adalah bagian bulat dari
adalah bagian tidak bulat dari
Galat dari algoritma ini sangat kecil. Yaitu kurang dari

Untuk mencari logaritma dalam basis lain dapat menggunakan invarian

Pseudo-Code Algoritma :

1. Asumsikan bahwa kondisi terpenuhi
2. Tentukan batas toleransi kesalahan, , secukupnya.
3. Bagian bulat :
   1. Ambil
   2. Periksa salah satu rentang nilai yang memenuhi :
      1. Jika memenuhi : lanjut ke langkah 3.3
      2. Jika memenuhi : lompat ke langkah 4
      3. Jika memenuhi : lanjut ke langkah 3.4
   3. Lakukan :
      1. Kali dengan 2
      2. Kurangi dengan 1
      3. Periksa apakah kondisi masih terpenuhi.
         1. Jika masih terpenuhi, kembali ke langkah 3.3
         2. Jika sudah tidak terpenuhi, lompat ke langkah 4
   4. Lakukan :
      1. Bagi dengan 2
      2. Tambahkan dengan 1
      3. Periksa apakah kondisi masih terpenuhi.
         1. Jika masih terpenuhi, kembali ke langkah 3.4
         2. Jika sudah tidak terpenuhi, lompat ke langkah 4
4. Bagian tidak bulat :
   1. Ambil
   2. Periksa apakah kondisi terpenuhi.
      1. Jika terpenuhi : lanjut ke langkah 4.3
      2. Jika tidak terpenuhi : lompat ke langkah 5
   3. Periksa apakah kondisi terpenuhi.
      1. Jika terpenuhi :
         1. Kuadratkan
         2. Bagi oleh 2
         3. Kembali ke langkah 4.2
      2. Jika tidak terpenuhi :
         1. Bagi oleh 2
         2. Tambahkan dengan
         3. Kembali ke langkah 4.2
5. Hasil akhir algoritma adalah

Berikut penulis sajikan pseudo-code yang lebih formal :

Implementasi

Java : Ideone, PDF
C++ : Sabar subur
Python : Logarithm Function

Contoh eksekusi algoritma :

1. Contoh menghitung

Nilai

Ambil

Periksa rentang :

Menghitung bagian bulat

Nilai

Menghitung bagian tidak bulat

Nilai

Hasil akhir

Dengan demikian

2. Contoh menghitung

Nilai

Ambil

Periksa rentang :

Menghitung bagian bulat

Nilai

Menghitung bagian tidak bulat

Nilai

Hasil akhir

Dengan demikian

3. Contoh menghitung

Nilai

Ambil

Periksa rentang :

Menghitung bagian bulat :

Nilai

Menghitung bagian tidak bulat :

Nilai

Hasil akhir :

Dengan demikian

Atas nama kerapihan, angka-angka pada perhitungan di atas telah “dipotong” dari angka yang sebenarnya. Pembaca mungkin akan mendapatkan angka yang berbeda jika meng-implementasi dan menjalnkan algoritma ini di dalam komputer ataupun kalkulator.

Hasil perhitungan-perhitungan di atas menggunakan ketelitian 0.01 dari hasil sebenarnya, sehingga ketika di-cross check akan memberikan angka yang tidak terlalu tepat.

Sebagai masukan, penulis biasanya menggunakan ketelitian agar mendapatkan hasil yang cukup dekat dengan hasil yang sebenarnya. Selain itu, ketelitian tersebut masih sangat mungkin dilakukan pada tipe data “floating point” pada komputer 32 bit yang sehari-harinya penulis gunakan. Di dalam artikel ini, penulis secara sengaja menggunakan ketelitian agar contoh eksekusi algoritma tidak terlalu panjang.

Sekali lagi, untuk mencari logaritma dalam basis lain dapat menggunakan invarian . Selamat mencoba.

Carilah rumus suku ke-n () pada barisan-barisan bilangan di bawah ini dan jelaskan mengapa mereka bukan barisan bilangan aritmatika.

• Barisan pertama : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ….

• Barisan kedua : 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, …

• Barisan ketiga : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ….

• Barisan keempat : 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, …

Pembahasan

• Barisan pertama adalah barisan bilangan kuadrat, yaitu dengan dan .
  Barisan ini bukan barisan aritmatika karena jarak tiap suku () tidak konstan. Sebagai contoh sementara

• Barisan kedua adalah barisan bilangan kubik, yaitu dengan dan .
  Barisan ini bukan barisan aritmatika karena jarak tiap suku () tidak konstan. Sebagai contoh sementara

• Barisan ketiga adalah barisan bilangan segitiga, yaitu dengan dan .
  Barisan ini bukan barisan aritmatika karena jarak tiap suku () tidak konstan. Sebagai contoh sementara

• Barisan keempat adalah barisan bilangan segiempat, yaitu dengan dan .
  Barisan ini bukan barisan aritmatika karena jarak tiap suku () tidak konstan. Sebagai contoh sementara

Bilangan segitiga, segiempat, segilima dan seterusnya dikenal sebagai bilangan gambar/polyhedral (figurate number).
Untuk lebih jelasnya silahkan baca di sini.

Sebagai obat ngantuk berikutnya :

• Buktikan bahwa bilangan segitiga, yaitu dengan dan , selalu merupakan bilangan bulat.

• Buktikan bahwa bilangan segiempat, yaitu dengan dan , selalu merupakan bilangan bulat.

• dst…

• Buktikan bahwa bilangan polyhedral, yaitu dengan dan , selalu merupakan bilangan bulat.

Problem 2

Misalkan adalah sebuah barisan bilangan aritmatik.

Diketahui dan

Carilah nilai dimana

Sumber : American High School Mathematics Examination

Pembahasan

Dalam setiap deret aritmatik, berlaku Arithmatic Mean, yaitu

atau secara umum :

Solusi 1, menggunakan rataan aritmatika (Arithmatic Mean) sederhana :

Sekarang karena dan , maka :

Karena , maka :

Dengan demikian suku ke-k yang memenuhi adalah suku ke-18.

Solusi 2, menggunakan rataan aritmatika (Arithmatic Mean) umum :

Selanjutnya tinggal menyelesaikan persamaan dan persamaan . Hal ini diserahkan kepada pembaca.

Problem 3

Hitunglah nilai dari

Pembahasan

Sebelum mencari jawaban, ada baiknya kita telusuri lebih jauh bentuk tersebut.

Misalkan nilai dari bentuk di atas adalah , maka dapat dituliskan sebagai :

Apakah kita bisa meng-eksploitasi sesuatu dari sini? Apakah kita melupakan sesuatu di sini?

Tampaknya memang ada sesuatu yang bisa kita eksploitasi tetapi kita lupakan.

Perhatikan persamaan di bawah ini :

Jika , apa yang akan terjadi? Mari kita lihat

Makna dari persamaan di atas adalah jika dan keduanya adalah bilangan bulat, maka dan adalah dua buah bilangan bulat yang berturutan. Sepertinya sesuai dengan yang kita inginkan. Mari kita uji.

Yap! Persis dengan yang kita inginkan. Sekarang kita eksploitasi.

Persamaan ini sendiri secara umum bernilai .

Atau jika dituliskan secara utuh menjadi

Problem 4

Untuk , diketahui tiga buah suku pertama pada barisan aritmatik adalah , dan . Berapakah nilai suku ke-4?

Pembahasan

Selanjutnya,

Problem 5

Diketahui , dan adalah tiga buah suku berurutan pada sebuah barisan aritmatik.

Buktikan bahwa , dan juga merupakan tiga buah suku berurutan pada sebuah barisan aritmatik (tidak harus barisan yang sama).

Pembahasan

Dalam sebuah barisan aritmatik berlaku rataan aritmatik .

Untuk tiga suku yang berturutan, nilai adalah 1.

Yaitu atau dalam bentuk lain .

Menurut sifat ini, jika adalah tiga suku berturutan pada sebuah barisan aritmatik maka akan terpenuhi rataan aritmatik

Sekarang, misalkan :

Dengan menggunakan sifat , maka

Perhatikan bahwa keterbuktian persamaan sebenarnya tidak mengimplikasikan bahwa , dan merupakan tiga suku yang berturutan pada sebuah deret aritmatik. Hal ini karena wajar karena property rataan aritmatik ini tidak biimplikatif (jika dan hanya jika).

Untuk membuktikan bahwa , dan merupakan tiga suku yang berturutan pada sebuah deret aritmatik, kita perlu melakukan uji jarak/difference () pada ketiga suku ini. yaitu :

Hal itu dapat dilakukan dengan metode kontradiktif. Yaitu, dengan mengasumsikan ketiga bilangan ini tidak tersusun dalam deret aritmatika. Atau secara matematis dengan membuktikan

Sayangnya, asumsi ini gagal karena

Suatu kontradiksi yang mengakibatkan asumsi kita salah. Dengan demikian benarlah bahwa , dan merupakan tiga suku yang berturutan pada sebuah deret aritmatik.

Problem 6

Ada berapa banyak nilai sedemikian rupa sehingga habis membagi .

Sumber : American Mathematics Competition grade

Pembahasan

Karena , maka :

Karena baik maupun adalah bilangan bulat positif dan himpunan faktor-faktor positif dari 12 adalah , maka nilai dapat dicari dengan memeriksa semua faktor-faktor positif dari 12. Sebagai berikut :

(tidak memenuhi karena )

Dengan demikian, himpunan nilai yang memenuhi sifat ini adalah yang banyaknya ada 5 buah.

Problem 7

Dalam sebuah barisan aritmatika , diketahui .

Jika jarak antar suku satu dengan suku yang lain () adalah sebuah bilangan bulat, berapa nilai minimum agar ?

Sumber : Introduction to Algebra

Pembahasan

Diketahui : dengan

Ditanya : Nilai minimum agar

Jawab :

Karena , maka :

Problem 8

Hitunglah nilai dari .

Pembahasan

Sebelum memulai pembahasan ada baiknya kita cari tahu pola barisan bilangan yang diberikan.

Catatan : Ilmu mencari pola memang sangat sulit untuk diajarkan. Sepertinya ilmu ini datang dari jam terbang. Pembaca tidak perlu berkecil hati karenanya.

Barisan adalah barisan dengan pola .  Yaitu barisan bilangan segitiga. Atau jika ingin sedikit lebih jelas perhatikan persamaan-persamaan di bawah ini :

Kembali ke persoalan. Dengan demikian barisan bilangan pada soal berpola atau setara dengan .

Sama seperti pada problem 3, kita bisa melakukan trik sederhana dengan mengubah bentuknya menjadi . Suatu bentuk yang ideal untuk kita manfaatkan.

Problem 9

Diketahui bahwa :

1. Setiap serangga tampan membelah diri menjadi seekor serangga buruk rupa dan seekor serangga bodoh.
2. Setiap serangga buruk rupa membelah diri menjadi dua ekor serangga tampan.
3. Setiap serangga bodoh membelah diri menjadi seekor serangga buruk rupa dan seekor serangga tampan.
4. Serangga hanya membelah diri ketika dia mati.
5. Masa hidup setiap serangga (tidak perduli jenisnya) adalah sama.
6. Pada awalnya hanya ada seekor serangga tampan (origin of species). Serangga ini disebut sebagai serangga generasi pertama.

Berapa jumlah:

1. Total seluruh serangga generasi ke-5?
2. Serangga (masing-masing jenis) generasi ke-5?
3. Total seluruh serangga generasi ke-n?
4. Serangga (masing-masing jenis) generasi ke-n?

Pembahasan

Draft

Problem 10

Dalam sebuah deret aritmatika, diketahui fakta-fakta berikut :

dan

Berapakah nilai dari ?

Pembahasan

Dari rataan aritmatika kita ketahui bahwa :

Selanjutnya, dengan menggabungkan konsep rataan aritmatika dan fakta pertama kita peroleh persamaan 1 :

Lalu kita peroleh persamaan 2 dari konsep rataan aritmatika dan fakta kedua :

Sekarang kita selesaikan persamaan 1 dan persamaan 2 :

Dari sini kita peroleh nilai , yaitu

Berikutnya nilai kita substitusikan ke persamaan 1 untuk mencari nilai . Ingat bahwa dalam deret aritmatika .

Cerita

Wadah 1, dengan kapasitas liter, diisi dengan garam sebanyak sendok.
Wadah 2, dengan kapasitas liter, diisi dengan garam sebanyak sendok.
Kedua wadah terisi penuh dengan air lalu diaduk sehingga garam larut.

Kadar ke-asin-an air di wadah 1 dinyatakan dengan dan ke-asin-an air di wadah 2 dinyatakan dengan .
Keduanya dalam satuan yang sama, yaitu .

Asumsikan air di wadah 2 lebih asin air di wadah 2, yakni .

Wadah 3, dengan kapasitas liter, cukup untuk menampung air di wadah 1 dan wadah 2.

Air di wadah 1 dan di wadah 2 keduanya dituangkan ke wadah 3 lalu diaduk hingga rata. Sekarang, kita dapatkan konsentrat (kadar ke-asin-an) garam yang baru, yaitu .

Pertanyaan

1. Nyatakan konsentrat dalam variabel-variabel , , dan .
2. Bagaimana relasi terhadap dan ?
3. Carilah bilangan rasional yang memenuhi dengan syarat . Tentu saja .
4. Carilah bilangan rasional yang memenuhi dengan syarat . Tentu saja .

Pembahasan

1. Konsentrat yang baru berasal dari air sebanyak liter dan garam sebanyak sendok. Sehingga .
2. Secara intuitif, karena konsentrat 2 lebih asin dari konsentrat 1, yaitu , maka konsentrat 3 (campuran) akan lebih asin dari konsentrat 1 tetapi kalah asin dari konsentrat 2. Secara matematis .
   Jika kita tampilkan pertidaksamaan dalam bentuk , , dan akan kita peroleh .
   Perhatikan baik-baik pembilang dan penyebut dari setiap bagian pertidaksamaan. Menarik bukan?
3. Bilangan rasional yang “diapit” oleh dan dapat dicari dengan cara menjumlahkan pembilang dan menjumlahkan penyebut.
   Sehingga .
   Tentu saja pertidaksamaan ini benar.
4. Dengan cara yang sama, kita peroleh .
   Tentu saja pertidaksamaan valid.

Pertidaksamaan berlaku umum dengan syarat dan . Pembuktiannya diserahkan kepada pembaca. Selamat mencoba.

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) di dalam bahasa Inggris disebut dengan Greatest Common Divisor (GCD). Untuk membiasakan pembaca dengan istilah yang umum dipakai di dalam matematika, artikel ini akan menggunakan GCD alih-alih FPB.

Definisi : GCD dari dua buah bilangan bulat tidak nol dan adalah bilangan bulat positif terbesar yang habis membagi baik maupun .
Secara matematis :
Secara komputatif :

Contoh 1 :
Faktor-faktor positif (positive divisors) dari 12 adalah : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Faktor-faktor positif (positive divisors) dari 18 adalah : 1, 2, 3, 6, 9, 18
Faktor bersama (common divisors) dari 12 dan 18 adalah : 1, 2, 3, 6.
Faktor bersama yang paling besar (Greatest Common Divisor) dari 12 dan 18 adalah : 6.

Pada contoh di atas, 12 dan 18 memiliki beberapa faktor yang sama. Faktor-faktor tersebut adalah 1, 2, 3, dan 6. Dari ke-empat faktor bersama ini, tentu saja ada yang terbesar. Yang terbesar adalah 6. Faktor bersama yang terbesar inilah yang disebut dengan Greatest Common Divisor (GCD). Dalam contoh ini, dapat disimpulkan bahwa .

Contoh 2 :
Faktor-faktor positif (positive divisors) dari 15 adalah : 1, 3, 5, 15
Faktor-faktor positif (positive divisors) dari 20 adalah : 1, 2, 4, 5, 10, 20
Faktor bersama (common divisors) dari 15 dan 20 adalah : 1, 5
Faktor bersama yang paling besar (Greatest Common Divisor) dari 15 dan 20 adalah : 5.

Contoh 3 :
Faktor-faktor positif (positive divisors) dari 6 adalah : 1, 2, 3, 6
Faktor-faktor positif (positive divisors) dari 24 adalah : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Faktor bersama (common divisors) dari 6 dan 24 adalah : 1, 2, 3, 6
Faktor bersama yang paling besar (Greatest Common Divisor) dari 6 dan 24 adalah : 6.

Contoh 4 :
Faktor-faktor positif (positive divisors) dari 10 adalah : 1, 2, 5, 10
Faktor-faktor positif (positive divisors) dari 7 adalah : 1, 7
Faktor bersama (common divisors) dari 10 dan 7 adalah : 1
Faktor bersama yang paling besar (Greatest Common Divisor) dari 10 dan 7 adalah : 1.

Contoh 5 :
Faktor-faktor positif (positive divisors) dari 15 adalah : 1, 3, 5, 15
Faktor-faktor positif (positive divisors) dari 10 adalah : 1, 2, 5, 10
Faktor bersama (common divisors) dari 15 dan 10 adalah : 1, 5
Faktor bersama yang paling besar (Greatest Common Divisor) dari 15 dan 10 adalah : 5.

Contoh 6 :
Faktor-faktor positif (positive divisors) dari 4 adalah : 1, 2, 4
Faktor-faktor positif (positive divisors) dari 9 adalah : 1, 3, 9
Faktor bersama (common divisors) dari 4 dan 9 adalah : 1
Faktor bersama yang paling besar (Greatest Common Divisor) dari 4 dan 9 adalah : 1.

Intermezzo : Pada contoh ke-4 dan ke-6, GCD dari 10 dan 7 dan juga GCD dari 4 dan 9 adalah 1. Di dalam dunia matematika, jika GCD dari dua buah bilangan bulat a dan b bernilai 1 maka  kedua bilangan tersebut dikatakan relatif prima (relatively prime). Ada juga yang menyebutnya koprima (coprime). Blog ini menggunakan istilah koprima. Tentang “mengapa” matematikawan menggunakan istilah relatif prima/koprima, tentu ada sebabnya. Hal itu belum akan kita bahas di artikel ini. Sebagai gambaran saja, hal ini memang erat kaitannya dengan bilangan prima.

Dalam teori himpunan, dan dikatakan koprima jika himpunan faktor-faktor dan himpunan faktor-faktor saling lepas. Seperti pada gambar berikut :

Perhatikan bahwa GCD bersifat komutatif, yaitu . Penulis kira hal ini sudah cukup jelas, sehingga tidak perlu disediakan ruang khusus untuk membahasnya.

Teknik Menghitung GCD

Sebelum masuk ke dalam teknik menghitung GCD. Kita akan mundur sebentar ke dalam algoritma pembagian.

Misalkan . Sesuai dengan definisi, pasti habis membagi dan juga habis membagi . Jika definisi ini kita tuangkan ke dalam algoritma pembagian, kita akan memperoleh :

Menurut algoritma pembagian, dapat dituliskan sebagai . Arti dari persamaan ini adalah “jika dibagi dengan , maka kita akan memperoleh sisa bagi (remainder) yang memenuhi “.

Dengan men-substitusikan persamaan , kita memperoleh

Karena kita tahu bahwa , kita substitusikan persamaan ini sehingga mendapatkan

Tidak perlu diragukan lagi, sisi kanan dari persamaan, yaitu , pasti habis dibagi dengan . Begitu pula dengan .

Lantas, apakah pasti habis dibagi ? Karena “temannya” , yaitu sudah memberikan kepastian bahwa dia pasti habis dibagi oleh , maka mau tidak mau pasti habis juga dibagi . Karena habis dibagi oleh , berarti adalah divisor (faktor) dari .

Bagaimana jika tidak habis membagi ? Itu artinya bukan gcd dari dan (kontradiktif). Habis perkara.

Di paragraf sebelumnya, secara logis kita telah menyimpulkan bahwa adalah salah satu dari sekian banyak faktor (divisor) dari . Pertanyaan logis berikutnya adalah “Faktor (divisor) yang mana?”. Lagi-lagi, karena kita bicara soal faktor terbesar (greatest divisor), jawabannya adalah “sebesar mungkin”.

Misalkan memiliki sekian banyak faktor positif, sebut saja . Faktor mana yang akan kita pilih? Karena kita berusaha mencari “faktor terbesar yang mungkin”, kita akan lakukan pemeriksaan mulai dari yang paling kanan, yaitu . Kita akan memeriksa apakah sebuah faktor, sebut saja , habis membagi .

Pemeriksaan berakhir jika alias terbukti habis membagi .

Mengapa hanya ? Mengapa tidak? Kita hanya memeriksa karena itu sudah cukup (syarat cukup) untuk menjamin bahwa juga pasti habis dibagi oleh . Penjelasannya adalah sebagai berikut :

Perhatikan persamaan .

Karena adalah faktor dari , maka kita boleh menulis persamaan di atas menjadi . Tidak perlu pusing dengan variabel-variabel “dummy” seperti dan . Kita tidak tertarik untuk membahasnya.

Sekarang, jika habis membagi , maka persamaan dapat kita tulis ulang menjadi . Sekali lagi, abaikan semua variabel-variabel tidak penting seperti , dan .

Dengan memanfaatkan sifat distributif perkalian, kita memperoleh .

Nah, sekarang jelas terlihat bahwa juga pasti habis dibagi oleh . Dengan demikian, pemeriksaan terhadap sudah cukup (syarat cukup) untuk meyakinkan kita bahwa tidak perlu diperiksa lagi.

Hal ini sangat menarik. Pemeriksaan yang kita lakukan di beberapa paragraf sebelumnya sebenarnya mencari faktor bersama (common divisor) yang habis membagi baik , maupun . Karena pemeriksaan dilakukan dari “kanan”, maka yang memenuhi kriteria ini pastilah faktor bersama yang terbesar (greatest common divisor) yang dimiliki baik oleh , maupun oleh .

Apa yang sebenarnya kita lakukan di beberapa paragraf sebelumnya adalah mencari GCD dari dan . Aneh bukan? Memang benar bahwa di awal sekali, kita ingin mencari GCD dari dan . Tetapi, analisa matematika membuktikan bahwa GCD dari dan sebenarnya sama dengan GCD dari dan . Dimana adalah sisa bagi oleh :

Fenomena ini pertama kali diamati oleh Euclid sekitar 2300 tahun yang lalu dan sampai saat ini masih dipelajari di sekolah-sekolah dan kampus-kampus di seluruh dunia.

Teknik pencarian GCD dari dan yang diajukan oleh Euclid adalah sebagai berikut :

1. Jika , maka GCD dari dan adalah .
2. Jika , maka :
   1. Carilah , yaitu sisa bagi oleh .
   2. Anggap sebagai dan sebagai .
   3. Kembali ke step 1

Contoh 1 (lagi) : Menghitung

• a = 12, b = 18.
• Karena , maka :
• 12 = 0.18 + 12, sehingga r = 12.
  • a = 18, b = 12
  • Karena , maka :
  • 18 = 1.12 + 6, sehingga r = 6
    • a = 12, b = 6
    • Karena , maka :
    • 12 = 2.6 + 0, sehingga r = 0
      • a = 6, b = 0
      • Karena , maka hasilnya adalah 6.

Secara grafis :

Contoh 2 (lagi) : Menghitung gcd(15, 20)

• a = 15, b = 20.
• Karena , maka :
• 15 = 0.20 + 15, sehingga r = 15.
  • a = 20, b = 15
  • Karena , maka :
  • 20 = 1.15 + 5, sehingga r = 5
    • a = 15, b = 5
    • Karena , maka :
    • 15 = 3.5 + 0, sehingga r = 0
      • a = 5, b = 0
      • Karena , maka hasilnya adalah 5.

Secara grafis :

Contoh 3 (lagi) : Menghitung gcd(6, 24)

• a = 6, b = 24.
• Karena , maka :
• 6 = 0.24 + 6, sehingga r = 6.
  • a = 24, b = 6
  • Karena , maka :
  • 24 = 4.6 + 0, sehingga r = 0
    • a = 6, b = 0
    • Karena , maka hasilnya adalah 6.

Secara grafis :

Contoh 4 (lagi) : Menghitung gcd(10, 7)

• a = 10, b = 7.
• Karena , maka :
• 10 = 1.7 + 3, sehingga r = 3.
  • a = 7, b = 3
  • Karena , maka :
  • 7 = 2.3 + 1, sehingga r = 1
    • a = 3, b = 1
    • Karena , maka :
    • 3 = 3.1 + 0, sehingga r = 0
      • a = 1, b = 0
      • Karena , maka hasilnya adalah 1.

Secara grafis :

Contoh 5 (lagi) : Menghitung gcd(15, 10)

• a = 15, b = 10.
• Karena , maka :
• 15 = 1.10 + 5, sehingga r = 5.
  • a = 10, b = 5
  • Karena , maka :
  • 10 = 2.5 + 0, sehingga r = 0
    • a = 5, b = 0
    • Karena , maka hasilnya adalah 5.

Secara grafis :

Contoh 6 (lagi) : Menghitung gcd(4, 9)

• a = 4, b = 9.
• Karena , maka :
• 4 = 0.9 + 4, sehingga r = 4.
  • a = 9, b = 4
  • Karena , maka :
  • 9 = 2.4 + 1, sehingga r = 1
    • a = 4, b = 1
    • Karena , maka :
    • 4 = 4.1 + 0, sehingga r = 0
      • a = 1, b = 0
      • Karena , maka hasilnya adalah 1.

Secara grafis :

Satu pertanyaan yang paling sering dilontarkan adalah : “Mengapa dianggap dan dianggap ?”.

Sebenarnya, teknik asli yang dilontarkan oleh Euclid mengharuskan . Jika ternyata ditemukan bahwa , maka Euclid mengharuskan kedua bilangan itu dipertukarkan. Ingat bahwa gcd adalah sebuah fungsi yang komutatif dimana sehingga mempertukarkan posisi dengan tidak akan mengubah hasil perhitungan.

Akan tetapi, dengan majunya ilmu komputasi, “penganggapan” sebagai dan sebagai , terbukti lebih efisien karena kita tidak perlu pusing-pusing memeriksa apakah .
Hal ini dapat dijelaskan melalui algoritma pembagian yang telah memberikan kepastian bahwa . Sehingga, step untuk memeriksa invarian (relasi) tidak perlu dilakukan lagi.

Bagaimana jika salah satu atau keduanya dari dan adalah bilangan negatif?

Hal ini juga sangat sering ditanyakan. Pembahasan tentang pertanyaan ini akan kita tunda dulu. Pembahasan lengkapnya akan kita bahas di artikel “Sifat-sifat GCD dan LCM”. Ide utamanya adalah bilangan negatif merupakan suatu perkalian bilangan positif dengan -1.

Kelipatan Persekutuan Terkecil

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) di dalam bahasa Inggris dikenal dengan nama Least Common Multiple (LCM). Sama seperti GCD, blog ini akan membiasakan pembaca untuk menggunakan istilah yang lazim dipakai. Oleh karena itu blog ini akan menggunakan istilah LCM.

Definisi : LCM dari dua buah bilangan bulat dan adalah bilangan bulat positif terkecil yang merupakan kelipatan bersama dari dan .
Secara matematis :
Secara komputatif :
Catatan : definisi asli dari LCM menggunakan “bilangan rasional”. Artikel ini menyederhanakan definisi tersebut ke dalam “bilangan bulat” agar lebih mudah dipahami.

Contoh 1 :
Kelipatan (multiple) dari 12 adalah : 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, …
Kelipatan (multiple) dari 18 adalah : 18, 36, 54, 72, 90, 108, …
Kelipatan bersama (common multiple) dari 12 dan 18 adalah : 36, 72, 108, …
Kelipatan bersama yang paling kecil (Least Common Multiple) dari 12 dan 18 adalah : 36.

Pada contoh di atas, 12 dan 18 memiliki banyak kelipatan yang sama. Kelipatan-kelipatan tersebut adalah 36, 72, 108, …. Dari semua kelipatan-kelipatan ini, yang terkecil adalah 36. Kelipatan bersama yang terkecil inilah yang disebut dengan Least Common Multiple (LCM). Dalam contoh ini, terlihat bahwa .

Contoh 2 :
Kelipatan (multiple) dari 15 adalah : 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, 195, …
Kelipatan (multiple) dari 20 adalah : 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, 240, …
Kelipatan bersama (common multiple) dari 15 dan 20 adalah : 60, 120, 180, …
Kelipatan bersama yang paling kecil (Least Common Multiple) dari 15 dan 20 adalah : 60.

Contoh 3 :
Kelipatan (multiple) dari 6 adalah : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, …
Kelipatan (multiple) dari 24 adalah : 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, …
Kelipatan bersama (common multiple) dari 6 dan 24 adalah : 24, 48, 72, …
Kelipatan bersama yang paling kecil (Least Common Multiple) dari 6 dan 24 adalah : 24.

Contoh 4 :
Kelipatan (multiple) dari 10 adalah : 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, 160, 170, 180, 190, 200, 210, …
Kelipatan (multiple) dari 7 adalah : 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 133, 140, 147, …
Kelipatan bersama (common multiple) dari 10 dan 7 adalah : 70, 140, 210, …
Kelipatan bersama yang paling kecil (Least Common Multiple) dari 10 dan 7 adalah : 70.

Contoh 5 :
Kelipatan (multiple) dari 15 adalah : 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, …
Kelipatan (multiple) dari 10 adalah : 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, …
Kelipatan bersama (common multiple) dari 15 dan 10 adalah : 30, 60, 90, …
Kelipatan bersama yang paling kecil (Least Common Multiple) dari 15 dan 10 adalah : 30.

Contoh 6 :
Kelipatan (multiple) dari 4 adalah : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, …
Kelipatan (multiple) dari 9 adalah : 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, …
Kelipatan bersama (common multiple) dari 4 dan 9 adalah : 36, 72, 108, …
Kelipatan bersama yang paling kecil (Least Common Multiple) dari 4 dan 9 adalah : 36.

Sama seperti GCD, LCM juga bersifat komutatif (dapat dipertukarkan tanpa mengurangi kebenarannya). Yaitu .

Secara matematis, untuk menghitung LCM dari dua buah bilangan bulat a dan b dapat dilakukan dengan mengikuti rumus
Hal ini sangat mudah dilakukan karena sebelumnya kita telah mengetahui teknik pencarian ala Euclid.

Secara komputatif, untuk menghitung LCM dilakukan dengan invarian

Contoh 1 (lagi) :

Contoh 2 (lagi) :

Contoh 3 (lagi) :

Contoh 4 (lagi) :

Contoh 5 (lagi) :

Contoh 6 (lagi) :

Sebenarnya penulis tidak terlalu tertarik untuk membahas asal muasal datangnya rumus LCM ini. Tetapi, untuk mengantisipasi keingintahuan pembaca. Berikut akan dipaparkan asal muasal rumus LCM.

Misalkan dan .
Maka a dan b bisa ditulis ulang menjadi :

Intermezzo : Mengapa ?
Untuk menjawabnya, penulis akan membuktikan dengan metode kontradiktif. Asumsikan , dimana . Sehingga :

akibatnya,

dan dengan demikian,

Kalimat di atas secara langsung mengatakan bahwa GCD dari dan bukanlah , melainkan . Dimana karena .
Suatu kontradiktif yang mengakibatkan asumsi kita salah.

Dengan demikian haruslah 1. Dalam diagram venn dinyatakan sebagai himpunan yang saling lepas.

Sekarang kita lanjutkan ke pembahasan asal muasal rumus LCM…

Nilai terkecil yang habis membagi dan adalah . Mengapa ? Sukar untuk dijelaskan dengan kata-kata. Biarkan diagram venn di bawah ini yang berbicara

adalah yang berwarna cyan (telor asin)

adalah yang berwarna pink (merah jambu)

adalah yang berwarna purple (ungu)

Nilai setidak-tidaknya harus dapat membagi , , dan . Sehingga haruslah merupakan perkalian ketiganya, yaitu

Mengingat adalah bilangan bulat positif, maka sisi kanan haruslah positif juga.

Karena penyebut dari sisi kanan, yaitu , pasti bilangan positif, maka ke-positif-an pembilangnya harus dipastikan dengan fungsi .

Obat Ngantuk

1. Rancanglah algoritma untuk mencari GCD dari himpunan bilangan bulat , dimana .
   Notasi menyatakan kardinalitas (jumlah elemen) dari himpunan.
2. Rancanglah algoritma untuk mencari LCM dari himpunan bilangan bulat , dimana .
   Notasi menyatakan kardinalitas (jumlah elemen) dari himpunan.

Bilangan adalah bilangan yang sangat besar. Berapa digit-kah panjang bilangan ini?

Pra-pembahasan 1 (Penyederhanaan Bentuk)

Misalkan adalah sebuah bilangan 4 digit. Maka berlaku pertidaksamaan berikut

Atau secara umum, jika adalah bilangan digit, maka berlaku dimana

Lebih jauh lagi, karena kita tahu bahwa adalah sebuah fungsi yang monoton naik, maka berlaku :

Pra-Pembahasan 2 : (Fungsi Lain yang Serupa)

Kita tahu ada sebuah fungsi yang definisi-nya persis dengan pertidaksamaan di atas, yaitu fungsi

Definisi : di-definisikan sebagai

Atau jika dimodifikasi sedikit dengan melakukan operasi pengurangan, definisi menjadi

Jika kita misalkan .

Maka kita peroleh :

Atau sederhananya

Pembahasan

Diketahui :

Ditanya :

Jawab :

Untuk mengatasi rasa tidak percaya dari pembaca yang kurang “beriman” terhadap logika dan matematika, berikut ini penulis sediakan hasil perhitungan yang sebenarnya dari . Silahkan hitung sendiri banyaknya digit pada angka tersebut. Pelan-pelan saja, tidak usah terburu-buru 

Buktikan bahwa habis dibagi 7.

Sumber : Seleksi Tim Olimpiade Matematika Indonesia 1997

Pra-Pembahasan 1

Menurut algoritma pembagian, dengan
Jika kita nyatakan sisa pembagian oleh sebagai maka

Salah satu sifat dalam fungsi adalah sifat distributif-asosiatif, sebagai berikut:

Karena mungkin lebih besar dari , maka :

Sehingga

Sekarang, karena

dan

Maka
Dengan cara yang sama juga kita peroleh .

Perhatikan bahwa dalam algoritma pembagian, dikatakan habis dibagi oleh jika dan hanya jika atau .

Pra-Pembahasan 2

Menurut Binomial Newton :

Semua suku, kecuali suku ke-b (terakhir), memiliki sebagai faktor.
Ini memberikan kita kesimpulan bahwa semua suku, kecuali suku ke-b, habis dibagi oleh .

Karena semua suku, kecuali suku ke-b, habis dibagi oleh d, maka sisa pembagian oleh bergantung sepenuhnya kepada suku ke-b.

Nilai dari suku ke-b adalah :

Dengan demikian sisa bagi oleh bergantung sepenuhnya kepada dimana adalah sisa bagi oleh . Secara matematis :

Pembahasan

Sisa bagi oleh 7 dapat dinyatakan sebagai :

Bagian 1 : Mencari nilai :

Karena

Maka

Karena

Maka

Karena

Maka

Sehingga

Sehingga

Bagian 2 : Mencari nilai :

Karena

maka

Karena

maka

Sehingga

Kesimpulan

Dengan demikian sisa bagi dari oleh 7 adalah 0. Alias habis dibagi oleh 7.