3 Pangkat 2 Pangkat n

November 12, 2010

3 Pangkat 2 Pangkat n

Filed under: Barisan Bilangan, Matematika — Hendra Jaya @ 12:58 pm

Problem

Hitunglah nilai dari

$\frac{1}{3+1}+\frac{2}{3^2+1}+\frac{4}{3^4+1}+\ldots+\frac{2^{2009}}{3^{2^{2009}}+1}+\frac{2^{2010}}{3^{2^{2010}}+1}$

Sumber

Post dari silvergrashopper di www.olimpiade.org. Soal aslinya telah sedikit dimodifikasi

Pra-Pembahasan

Sekedar menyegarkan ingatan, perhatikan beberapa sifat berikut :

${(x^a)}^b=x^{ab}$ untuk sembarang $a,b,x\in\mathbb{R}$

$x^a.x^b=x^{a+b}$ untuk sembarang $a,b,x\in\mathbb{R}$

$(x-y).(x+y)=x^2-y^2$ untuk sembarang $x,y\in\mathbb{R}$

Misalkan kita ambil

$x=3$

$a=2^n$

$b=2^1=2$

Maka kita peroleh ${(3^{2^n})}^2=3^{2^n.2}$

Sekarang, karena $2^n.2=2^n.2^1=2^{n+1}$

Maka nilai dari ${(3^{2^n})}^2$ dapat dituliskan sebagai :

${(3^{2^n})}^2=3^{2^n.2}=3^{2^{n+1}}$

Pembahasan

Salah satu trik yang sangat ampuh dalam problem jenis ini adalah mengubah $f(n)$ menjadi bentuk $g(n)-g(n+1)$ .

Pada problem ini, secara eksplisit dalam soal, diberitahu bahwa $f(n)=\frac{2^n}{3^{2^n}+1}$

Agar, tidak terlalu “ribet”, kita mulai manipulasi $f(n)$ dari $\frac{1}{3^{2^n}+1}$

Melalui aljabar kita peroleh :

$\begin{array}{rcll}\frac{1}{3^{2^n}-1}-\frac{1}{3^{2^n}+1}&=&\frac{(3^{2^n}+1)-(3^{2^n}-1)}{{(3^{2^n})}^2-1^2}\\\\&=&\frac{3^{2^n}+1-3^{2^n}+1}{3^{2^{n+1}}-1}\\\\&=&\frac{2}{3^{2^{n+1}}-1}\end{array}$

Dengan demikian :

$\begin{array}{ccccll}\frac{1}{3^{2^n}-1}&-&\frac{1}{3^{2^n}+1}&=&\frac{2}{3^{2^{n+1}}-1}\\\\\frac{1}{3^{2^n}-1}&-&\frac{2}{3^{2^{n+1}}-1}&=&\frac{1}{3^{2^n}+1}\\\\\frac{2^n}{3^{2^n}-1}&-&\frac{2^n.2}{3^{2^{n+1}}-1}&=&\frac{2^n}{3^{2^n}+1}&\mbox{Kalikan kedua sisi dengan }2^n\\\\\frac{2^n}{3^{2^n}-1}&-&\frac{2^{n+1}}{3^{2^{n+1}}-1}&=&\frac{2^n}{3^{2^n}+1}\end{array}$

Bentuk di atas sungguh merupakan bentuk yang sangat sempurna untuk di-eksploitasi

Yaitu $f(n)=\frac{2^n}{3^{2^n}+1}$ dapat ditulis ulang sebagai $g(n)-g(n+1)$ dimana $g(n)=\frac{2^n}{3^{2^n}-1}$

Sekarang waktunya menjawab soal :

$\begin{array}{lcl}N&=&\frac{1}{3+1}+\frac{2}{3^2+1}+\frac{4}{3^4+1}+\ldots+\frac{2^{2009}}{3^{2^{2009}}+1}+\frac{2^{2010}}{3^{2^{2010}}+1}\\\\&=&(\frac{2^0}{3^{2^0}-1}-\frac{2^1}{3^{2^1}-1})+(\frac{2^1}{3^{2^1}-1}-\frac{2^2}{3^{2^2}-1})+(\frac{2^2}{3^{2^2}-1}-\frac{2^3}{3^{2^3}-1})+\ldots+(\frac{2^{2009}}{3^{2^{2009}}-1}-\frac{2^{2010}}{3^{2^{2010}}-1})+(\frac{2^{2010}}{3^{2^{2010}}-1}-\frac{2^{2011}}{3^{2^{2011}}-1})\\\\&=&\frac{2^0}{3^{2^0}-1}+(\frac{2^1}{3^{2^1}-1}-\frac{2^1}{3^{2^1}-1})+(\frac{2^2}{3^{2^2}-1}-\frac{2^2}{3^{2^2}-1})+(\frac{2^3}{3^{2^3}-1}-\frac{2^3}{3^{2^3}-1})+\ldots+(\frac{2^{2010}}{3^{2^{2010}}-1}-\frac{2^{2010}}{3^{2^{2010}}-1})-\frac{2^{2011}}{3^{2^{2011}}-1}\\\\&=&\frac{2^0}{3^{2^0}-1}-\frac{2^{2011}}{3^{2^{2011}}-1}\\\\&=&\frac{1}{2}-\frac{2^{2011}}{3^{2^{2011}}-1}\end{array}$