Kejutan!!

November 11, 2010

Kejutan!!

Filed under: Barisan Bilangan, Matematika, Puzzle — Hendra Jaya @ 11:52 am

Problem

Hitunglah nilai dari

$\begin{array}{l}\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+\ldots+\sqrt{1+\frac{1}{2008^2}+\frac{1}{2009^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2009^2}+\frac{1}{2010^2}}\end{array}$

Sumber

Post dari aldo di www.olimpiade.org. Soal aslinya telah sedikit di-modifikasi

Pembahasan

Penulis akui bahwa penulis sedikit bingung apakah hasil perhitungan berupa bilangan rasional atau irasional. Tetapi, secara psikologis penulis yakin bahwa hasil akhirnya pasti berupa bilangan rasional.

Berangkat dari sini, manipulasi aljabar akan sangat dibutuhkan. Masalahnya adalah “Manipulasi yang seperti apa?”

Beberapa cara akan kita coba. Identitas aljabar yang perlu diingat pertama kali adalah $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$

Dengan identitas ini diharapkan terjadi ‘keajaiban’ bahwa manipulasi aljabar akan dapat menyingkirkan tanda akar ( $\sqrt{}$ ) yang sangat mengganggu.

Dari sini, kita coba aljabar pertama, yaitu :

$\begin{array}{lll}(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2&=&1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{ab}\\\\&=&1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2(a+b+1)}{ab}\end{array}$

Cukup mirip dengan yang kita inginkan, tetapi belum sesuai. Mari kita coba aljabar kedua :

$\begin{array}{lll}(1+\frac{1}{a}-\frac{1}{b})^2&=&1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{a}-\frac{2}{b}-\frac{2}{ab}\\\\&=&1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2(b-a-1)}{ab}\end{array}$

Sepertinya aljabar yang terakhir memang aljabar yang kita inginkan. Agar bentuk yang terakhir sama persis dengan apa yang kita inginkan, kita ambil :

$b=a+1$ sehingga :

$\begin{array}{lll}(1+\frac{1}{a}-\frac{1}{(a+1)})^2&=&1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{2}{a}-\frac{2}{(a+1)}-\frac{2}{a(a+1)}\\\\&=&1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{2(a+1-a-1)}{a(a+1)}\\\\&=&1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{2.0}{a(a+1)}\\\\&=&1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(a+1)^2}\end{array}$

Voila! Persis dengan yang kita inginkan. Suatu bentuk ‘ajaib’ yang bisa meng-eliminasi tanda akar ( $\sqrt{}$ )dengan mudah

Dari sini kita peroleh :

$\begin{array}{rll}1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(a+1)^2}&=&(1+\frac{1}{a}-\frac{1}{(a+1)})^2\\\\\sqrt{1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(a+1)^2}}&=&1+\frac{1}{a}-\frac{1}{(a+1)}\end{array}$