Obat Ngantuk Barisan Bilangan 1

Oktober 23, 2010

Obat Ngantuk Barisan Bilangan 1

Filed under: Barisan Bilangan, Matematika, Puzzle — Hendra Jaya @ 8:37 am

Problem 1

Carilah rumus suku ke-n ( $U_n$ ) pada barisan-barisan bilangan di bawah ini dan jelaskan mengapa mereka bukan barisan bilangan aritmatika.

Barisan pertama : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ….

Barisan kedua : 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, …

Barisan ketiga : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ….

Barisan keempat : 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, …

Pembahasan

Barisan pertama adalah barisan bilangan kuadrat, yaitu $n^2$ dengan $n\geq 1$ dan $n\in\mathbb{Z}$ .
Barisan ini bukan barisan aritmatika karena jarak tiap suku ( $d$ ) tidak konstan. Sebagai contoh $U_2-U_1=3$ sementara $U_3-U_2=5$

Barisan kedua adalah barisan bilangan kubik, yaitu $n^3$ dengan $n\geq 0$ dan $n\in\mathbb{Z}$ .
Barisan ini bukan barisan aritmatika karena jarak tiap suku ( $d$ ) tidak konstan. Sebagai contoh $U_2-U_1=1$ sementara $U_3-U_2=19$

Barisan ketiga adalah barisan bilangan segitiga, yaitu $\frac{n.(n+1)}{2}$ dengan $n\geq 1$ dan $n\in\mathbb{Z}$ .
Barisan ini bukan barisan aritmatika karena jarak tiap suku ( $d$ ) tidak konstan. Sebagai contoh $U_2-U_1=2$ sementara $U_3-U_2=3$

Barisan keempat adalah barisan bilangan segiempat, yaitu $\frac{n.(n+1).(n+2)}{6}$ dengan $n\geq 1$ dan $n\in\mathbb{Z}$ .
Barisan ini bukan barisan aritmatika karena jarak tiap suku ( $d$ ) tidak konstan. Sebagai contoh $U_2-U_1=3$ sementara $U_3-U_2=6$

Bilangan segitiga, segiempat, segilima dan seterusnya dikenal sebagai bilangan gambar/polyhedral (figurate number).
Untuk lebih jelasnya silahkan baca di sini.

Sebagai obat ngantuk berikutnya :

Buktikan bahwa bilangan segitiga, yaitu $\frac{n.(n+1)}{2}$ dengan $n\geq 1$ dan $n\in\mathbb{Z}$ , selalu merupakan bilangan bulat.

Buktikan bahwa bilangan segiempat, yaitu $\frac{n.(n+1).(n+2)}{6}$ dengan $n\geq 1$ dan $n\in\mathbb{Z}$ , selalu merupakan bilangan bulat.

dst…

Buktikan bahwa bilangan polyhedral, yaitu $\frac{n.(n+1).(n+2).(n+3)+...+(n+k-1)}{1.2.3.4...k}$ dengan $n\geq 1,k\geq 1$ dan $n,k\in\mathbb{Z}$ , selalu merupakan bilangan bulat.

Problem 2

Misalkan $U_1,U_2,U_3,...,U_k$ adalah sebuah barisan bilangan aritmatik.

Diketahui $U_4+U_7+U_{10}=17$ dan $U_4+U_5+U_6+...+U_{12}+U_{13}+U_{14}=77$

Carilah nilai $k$ dimana $U_k=13$

Sumber : American High School Mathematics Examination

Pembahasan

Dalam setiap deret aritmatik, berlaku Arithmatic Mean, yaitu $2.U_m=U_{m-n}+U_{m+n}$

atau secara umum :

$\begin{array}{l}(2n+1).U_m=U_{m-n}+U_{m-n+1}+U_{m-n+2}+...+U_{m-2}+U_{m-1}+U_m+U_{m+1}+U_{m+2}+...+U_{m+n-2}+U_{m+n-1}+U_{m+n}\end{array}$

Solusi 1, menggunakan rataan aritmatika (Arithmatic Mean) sederhana :

$\begin{array}{lllllllllr}2&.&U_{7}&=&U_{4}&+&U_{10}\\&&U_{7}&=&U_{7}\\-&-&-&-&--&-&--&-&--&+\\3&.&U_{7}&=&U_{4}&+&U_{7}&+&U_{10}\\3&.&U_{7}&=&17\\&&U_{7}&=&\frac{17}{3}\end{array}$

$\begin{array}{llllllll}2&.&U_{9}&=&U_{4}&+&U_{14}\\2&.&U_{9}&=&U_{5}&+&U_{13}\\2&.&U_{9}&=&U_{6}&+&U_{12}\\2&.&U_{9}&=&U_{7}&+&U_{11}\\2&.&U_{9}&=&U_{8}&+&U_{10}\\&&U_{9}&=&U_{9}\\-&-&-&-&-&-&-&+\\11&.&U_{9}&=&77\\&&U_{9}&=&7\end{array}$

Sekarang karena $U_7=a+6d$ dan $U_9=a+8d$ , maka :

$\begin{array}{lllllr}a&+&8d&=&7\\a&+&6d&=&\frac{17}{3}\\-&-&-&-&-&-\\&&2d&=&\frac{4}{3}\\&&d&=&\frac{2}{3}\end{array}$

Karena $U_k=a+(k-1)d$ , maka :

$\begin{array}{llrllr}a&+&(k-1)d&=&13\\a&+&6d&=&\frac{17}{3}\\-&-&----&-&-&-\\&&(k-7)d&=&\frac{22}{3}\\&&(k-7)\frac{2}{3}&=&\frac{22}{3}\\&&k-7&=&11\\&&k&=&18\end{array}$

Dengan demikian suku ke-k yang memenuhi $U_k=13$ adalah suku ke-18.

Solusi 2, menggunakan rataan aritmatika (Arithmatic Mean) umum :

$\begin{array}{lllclll}U_4&+&U_7&+&U_{10}&=&17\\&&(2.1+1)&.&U_{7}&=&17\\&&3&.&U_{7}&=&17\\&&&&U_{7}&=&\frac{17}{3}\end{array}$

$\begin{array}{lllllllllllllll}U_4&+&U_5&+&U_6&+&...&+&U_{12}&+&U_{13}&+&U_{14}&=&77\\&&&&&&&&&&(2.5+1)&.&U_{9}&=&77\\&&&&&&&&&&11&.&U_{9}&=&77\\&&&&&&&&&&&&U_{9}&=&7\end{array}$

Selanjutnya tinggal menyelesaikan persamaan $U_7=\frac{17}{3}$ dan persamaan $U_9=7$ . Hal ini diserahkan kepada pembaca.

Problem 3

Hitunglah nilai dari $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{98.99}+\frac{1}{99.100}$

Pembahasan

Sebelum mencari jawaban, ada baiknya kita telusuri lebih jauh bentuk tersebut.

Misalkan nilai dari bentuk di atas adalah $S$ , maka $S$ dapat dituliskan sebagai : $S=\sum_{n=1}^{99}\frac{1}{n.(n+1)}$

Apakah kita bisa meng-eksploitasi sesuatu dari sini? Apakah kita melupakan sesuatu di sini?

Tampaknya memang ada sesuatu yang bisa kita eksploitasi tetapi kita lupakan.

Perhatikan persamaan di bawah ini :

$\begin{array}{lllllll}\frac{1}{a}&-&\frac{1}{b}&=&\frac{b}{ab}&-&\frac{a}{ab}\\\\\frac{1}{a}&-&\frac{1}{b}&=&\frac{b-a}{ab}\end{array}$

Jika $b-a=1$ , apa yang akan terjadi? Mari kita lihat

$\begin{array}{lllllll}b&-&a&=&1\\&&b&=&a&+&1\end{array}$

Makna dari persamaan di atas adalah jika $a$ dan $b$ keduanya adalah bilangan bulat, maka $a$ dan $b$ adalah dua buah bilangan bulat yang berturutan. Sepertinya sesuai dengan yang kita inginkan. Mari kita uji.

$\begin{array}{lllllll}\frac{1}{n}&-&\frac{1}{n+1}&=&\frac{n+1}{n.(n+1)}&-&\frac{n}{n.(n+1)}\\\\\frac{1}{n}&-&\frac{1}{n+1}&=&\frac{n+1-n}{n.(n+1)}\\\\\frac{1}{n}&-&\frac{1}{n+1}&=&\frac{1}{n.(n+1)}\end{array}$

Yap! Persis dengan yang kita inginkan. Sekarang kita eksploitasi.

$\begin{array}{llclclclclclclc}S&=&\frac{1}{1.2}&+&\frac{1}{2.3}&+&\frac{1}{3.4}&+&...&+&\frac{1}{98.99}&+&\frac{1}{99.100}\\\\&=&\frac{1}{1}-\frac{1}{2}&+&\frac{1}{2}-\frac{1}{3}&+&\frac{1}{3}-\frac{1}{4}&+&...&+&\frac{1}{98}-\frac{1}{99}&+&\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\\\\&=&\frac{1}{1}&+&\frac{1}{2}-\frac{1}{2}&+&\frac{1}{3}-\frac{1}{3}&+&...&+&\frac{1}{98}-\frac{1}{98}&+&\frac{1}{99}-\frac{1}{99}&-&\frac{1}{100}\\\\&=&\frac{1}{1}&-&\frac{1}{100}\\\\S&=&\frac{99}{100}\end{array}$

Persamaan $S=\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n.(n+1)}$ ini sendiri secara umum bernilai $\frac{k}{k+1}$ .

Atau jika dituliskan secara utuh menjadi $S=\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n.(n+1)}=\frac{k}{k+1}$

Problem 4

Untuk $T\in\mathbb{R}$ , diketahui tiga buah suku pertama pada barisan aritmatik adalah $2T$ , $5T-1$ dan $6T+2$ . Berapakah nilai suku ke-4?

Pembahasan

$\begin{array}{rcl}U_2-U_1&=&U_3-U_2\\(5T-1)-(2T)&=&(6T+2)-(5T-1)\\5T-1-2T&=&6T+2-5T+1\\3T-1&=&T+3\\2T&=&4\\T&=&2\end{array}$

Selanjutnya,

$\begin{array}{rclr}U_4+U_2&=&2.U_3\\U_4+(5T-1)&=&2.(6T+2)\\U_4+5T-1&=&12T+4\\U_4&=&7T+5\\U_4&=&7.2+5&\text{Substitusikan nilai }T\\U_4&=&19\end{array}$

Problem 5

Diketahui $\frac{b+c-a}{a}$ , $\frac{c+a-b}{b}$ dan $\frac{a+b-c}{c}$ adalah tiga buah suku berurutan pada sebuah barisan aritmatik.

Buktikan bahwa $\frac{1}{a}$ , $\frac{1}{b}$ dan $\frac{1}{c}$ juga merupakan tiga buah suku berurutan pada sebuah barisan aritmatik (tidak harus barisan yang sama).

Pembahasan

Dalam sebuah barisan aritmatik berlaku rataan aritmatik $2.U_{n}=U_{n-k}+U_{n+k}$ .

Untuk tiga suku yang berturutan, nilai $k$ adalah 1.

Yaitu $2.U_{n}=U_{n-1}+U_{n+1}$ atau dalam bentuk lain $2.U_{n+1}=U_{n}+U_{n+2}$ .

Menurut sifat ini, jika $\{\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\}$ adalah tiga suku berturutan pada sebuah barisan aritmatik maka akan terpenuhi rataan aritmatik $2.\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$

Sekarang, misalkan :

$U_k=\frac{b+c-a}{a}$

$U_{k+1}=\frac{c+a-b}{b}$

$U_{k+2}=\frac{a+b-c}{c}$

Dengan menggunakan sifat $U_{n+1}-U_n=U_{m+1}-U_m$ , maka

$\begin{array}{rcll}U_{k+1}-U_k&=&U_{k+2}-U_{k+1}\\\\\frac{c+a-b}{b}-\frac{b+c-a}{a}&=&\frac{a+b-c}{c}-\frac{c+a-b}{b}\\\\(\frac{c}{b}+\frac{a}{b}-\frac{b}{b})-(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}-\frac{a}{a})&=&(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}-\frac{c}{c})-(\frac{c}{b}+\frac{a}{b}-\frac{b}{b})\\\\\frac{c}{b}+\frac{a}{b}-\frac{b}{b}-\frac{b}{a}-\frac{c}{a}+\frac{a}{a}&=&\frac{a}{c}+\frac{b}{c}-\frac{c}{c}-\frac{c}{b}-\frac{a}{b}+\frac{b}{b}&\text{Sifat distributif perkalian}\\\\\frac{c}{b}+\frac{a}{b}-1-\frac{b}{a}-\frac{c}{a}+1&=&\frac{a}{c}+\frac{b}{c}-1-\frac{c}{b}-\frac{a}{b}+1&\text{Sederhanakan (Identitas pembagian)}\\\\\frac{c}{b}+\frac{a}{b}-\frac{b}{a}-\frac{c}{a}&=&\frac{a}{c}+\frac{b}{c}-\frac{c}{b}-\frac{a}{b}\\\\\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+1-\frac{b}{a}-\frac{c}{a}-1&=&\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+1-\frac{c}{b}-\frac{a}{b}-1&\text{Tambahkan }0\text{ pada kedua sisi (Identitas penjumlahan)}\\\\\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{b}-\frac{b}{a}-\frac{c}{a}-\frac{a}{a}&=&\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{c}-\frac{c}{b}-\frac{a}{b}-\frac{b}{b}&\text{Identitas pembagian}\\\\\frac{c+a+b}{b}-\frac{b+c+a}{a}&=&\frac{a+b+c}{c}-\frac{c+a+b}{b}&\text{Kelompokkan berdasarkan penyebut (Sifat distributif pembagian)}\\\\\frac{a+b+c}{b}-\frac{a+b+c}{a}&=&\frac{a+b+c}{c}-\frac{a+b+c}{b}&\text{Susun ulang pembilang (Sifat komutatif penjumlahan)}\\\\\frac{1}{b}-\frac{1}{a}&=&\frac{1}{c}-\frac{1}{b}&\text{Asumsikan }a+b+c\neq 0\text{. Kalikan kedua sisi dengan }\frac{1}{a+b+c}\text{ (Identitas perkalian)}\\\\\frac{2}{b}&=&\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\end{array}$

Perhatikan bahwa keterbuktian persamaan $\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$ sebenarnya tidak mengimplikasikan bahwa $\frac{1}{a}$ , $\frac{1}{b}$ dan $\frac{1}{c}$ merupakan tiga suku yang berturutan pada sebuah deret aritmatik. Hal ini karena wajar karena property rataan aritmatik ini tidak biimplikatif (jika dan hanya jika).

Untuk membuktikan bahwa $\frac{1}{a}$ , $\frac{1}{b}$ dan $\frac{1}{c}$ merupakan tiga suku yang berturutan pada sebuah deret aritmatik, kita perlu melakukan uji jarak/difference ( $d$ ) pada ketiga suku ini. yaitu :

$\begin{array}{rlllrll}U_{k+2}&-&U_{k+1}&=&U_{k+1}&-&U_{k}\\\frac{1}{c}&-&\frac{1}{b}&=&\frac{1}{b}&-&\frac{1}{a}\end{array}$

Hal itu dapat dilakukan dengan metode kontradiktif. Yaitu, dengan mengasumsikan ketiga bilangan ini tidak tersusun dalam deret aritmatika. Atau secara matematis dengan membuktikan

$\frac{1}{c}-\frac{1}{b}\neq\frac{1}{b}-\frac{1}{a}$

Sayangnya, asumsi ini gagal karena

$\begin{array}{llllllll}&\frac{1}{c}&-&\frac{1}{b}&\neq&\frac{1}{b}&-&\frac{1}{a}\\\Leftrightarrow&\frac{1}{a}&+&\frac{1}{c}&\neq&\frac{2}{b}\end{array}$

Suatu kontradiksi yang mengakibatkan asumsi kita salah. Dengan demikian benarlah bahwa $\frac{1}{a}$ , $\frac{1}{b}$ dan $\frac{1}{c}$ merupakan tiga suku yang berturutan pada sebuah deret aritmatik.

Forget All You Have Learned

Problem 6

Ada berapa banyak nilai $n$ sedemikian rupa sehingga $1+2+3+4+...+n$ habis membagi $6n$ .

Sumber : American Mathematics Competition $12^{th}$ grade

Pembahasan

Karena $1+2+3+...+n=\frac{n.(n+1)}{2}$ , maka :

$\begin{array}{lllllllllll}6n&=&\frac{n.(n+1)}{2}&.&p\\6&=&\frac{n+1}{2}&.&p\\12&=&(n+1)&.&p\end{array}$

Karena baik $n$ maupun $p$ adalah bilangan bulat positif dan himpunan faktor-faktor positif dari 12 adalah $A=\{1,2,3,4,6,12\}$ , maka nilai $n$ dapat dicari dengan memeriksa semua faktor-faktor positif dari 12. Sebagai berikut :

$n+1=1\Leftrightarrow n=0$ (tidak memenuhi karena $n\geq 1$ )

$n+1=2\Leftrightarrow n=1$

$n+1=3\Leftrightarrow n=2$

$n+1=4\Leftrightarrow n=3$

$n+1=6\Leftrightarrow n=5$

$n+1=12\Leftrightarrow n=11$

Dengan demikian, himpunan nilai $n$ yang memenuhi sifat ini adalah $N=\{1,2,3,5,11\}$ yang banyaknya ada 5 buah.

Problem 7

Dalam sebuah barisan aritmatika $U_1,U_2,U_3...$ , diketahui $U_8=2001$ .

Jika jarak antar suku satu dengan suku yang lain ( $d$ ) adalah sebuah bilangan bulat, berapa nilai minimum $d$ agar $U_{17}>10000$ ?

Sumber : Introduction to Algebra

Pembahasan

Diketahui : $U_8=a+7d=2001$ dengan $d\in\mathbb{Z}$

Ditanya : Nilai $d$ minimum agar $U_{17}=a+16d>10000$

Jawab :

$\begin{array}{rlrll}a&+&16d&>&10000\\(a+7d)&+&9d&>&10000\\2001&+&9d&>&10000\\&&9d&>&7999\\&&d&>&888.777\end{array}$

Karena $d\in\mathbb{Z}$ , maka :

$\begin{array}{lll}d_{min}&=&\lceil 888.777\rceil\\d_{min}&=&889\end{array}$

Problem 8

Hitunglah nilai dari $\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+...+\frac{1}{5050}$ .

Pembahasan

Sebelum memulai pembahasan ada baiknya kita cari tahu pola barisan bilangan yang diberikan.

Catatan : Ilmu mencari pola memang sangat sulit untuk diajarkan. Sepertinya ilmu ini datang dari jam terbang. Pembaca tidak perlu berkecil hati karenanya.

Barisan $1,3,6,10,...,5050$ adalah barisan dengan pola $\frac{n.(n+1)}{2}$ . Yaitu barisan bilangan segitiga. Atau jika ingin sedikit lebih jelas perhatikan persamaan-persamaan di bawah ini :

$\begin{array}{lrlllllllllllll}&1&=&1&&&&&&&&&&=&\frac{1.2}{2}\\\\&3&=&1&+&2&&&&&&&&=&\frac{2.3}{2}\\\\&6&=&1&+&2&+&3&&&&&&=&\frac{3.4}{2}\\\\&10&=&1&+&2&+&3&+&4&&&&=&\frac{4.5}{2}\\\\dst...\\\\&5050&=&1&+&2&+&3&+&4&+&...&+100&=&\frac{100.101}{2}\end{array}$

Kembali ke persoalan. Dengan demikian barisan bilangan pada soal berpola $\frac{1}{\frac{n.(n+1)}{2}}$ atau setara dengan $\frac{2}{n.(n+1)}$ .

Sama seperti pada problem 3, kita bisa melakukan trik sederhana dengan mengubah bentuknya menjadi $\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}$ . Suatu bentuk yang ideal untuk kita manfaatkan.

$\begin{array}{llclclclclclclc}S&=&\frac{1}{1}&+&\frac{1}{3}&+&\frac{1}{6}&+&\frac{1}{10}&+&...&+&\frac{1}{5050}\\\\S&=&\frac{2}{2}&+&\frac{2}{6}&+&\frac{2}{12}&+&\frac{2}{20}&+&...&+&\frac{2}{10100}\\\\S&=&\frac{2}{1.2}&+&\frac{2}{2.3}&+&\frac{2}{3.4}&+&\frac{2}{4.5}&+&...&+&\frac{2}{100.101}\\\\&=&\frac{2}{1}-\frac{2}{2}&+&\frac{2}{2}-\frac{2}{3}&+&\frac{2}{3}-\frac{2}{4}&+&\frac{2}{4}-\frac{2}{5}&+&...&+&\frac{2}{100}-\frac{2}{101}\\\\&=&\frac{2}{1}&+&\frac{2}{2}-\frac{2}{2}&+&\frac{2}{3}-\frac{2}{3}&+&\frac{2}{4}-\frac{2}{4}&+&...&+&\frac{2}{100}-\frac{2}{100}&-&\frac{2}{101}\\\\&=&\frac{2}{1}&-&\frac{2}{101}\\\\S&=&\frac{200}{101}\end{array}$

Problem 9

Diketahui bahwa :

Setiap serangga tampan membelah diri menjadi seekor serangga buruk rupa dan seekor serangga bodoh.
Setiap serangga buruk rupa membelah diri menjadi dua ekor serangga tampan.
Setiap serangga bodoh membelah diri menjadi seekor serangga buruk rupa dan seekor serangga tampan.
Serangga hanya membelah diri ketika dia mati.
Masa hidup setiap serangga (tidak perduli jenisnya) adalah sama.
Pada awalnya hanya ada seekor serangga tampan (origin of species). Serangga ini disebut sebagai serangga generasi pertama.

Berapa jumlah:

Total seluruh serangga generasi ke-5?
Serangga (masing-masing jenis) generasi ke-5?
Total seluruh serangga generasi ke-n?
Serangga (masing-masing jenis) generasi ke-n?

Pembahasan

Draft

Problem 10

Dalam sebuah deret aritmatika, diketahui fakta-fakta berikut :

$U_1+U_2+U_3+...+U_{100}=100$

dan

$U_{101}+U_{102}+U_{103}+...+U_{200}=200$

Berapakah nilai dari $U_1$ ?

Pembahasan

Dari rataan aritmatika kita ketahui bahwa :

$\begin{array}{lllllr}&U_2&+&U_{100}&=&2.U_{51}\\&U_3&+&U_{99}&=&2.U_{51}\\dst...\\&U_{49}&+&U_{53}&=&2.U_{51}\\&U_{50}&+&U_{52}&=&2.U_{51}\end{array}$

Selanjutnya, dengan menggabungkan konsep rataan aritmatika dan fakta pertama kita peroleh persamaan 1 :

$\begin{array}{lllllllllll}U_1&+&U_2&+&U_3&+&...&+&U_{100}&=&100\\&&&&&&U_1&+&99.U_{51}&=&100\\&&&&&&a&+&99.(a+50d)&=&100\\&&&&&&a&+&99a+4950d&=&100\\&&&&&&&&100a+4950d&=&100\end{array}$

Lalu kita peroleh persamaan 2 dari konsep rataan aritmatika dan fakta kedua :

$\begin{array}{lllllllllll}U_{101}&+&U_{102}&+&U_{103}&+&...&+&U_{200}&=&200\\&&&&&&U_{101}&+&99.U_{151}&=&200\\&&&&&&(a+100d)&+&99.(a+150d)&=&200\\&&&&&&a+100d&+&99a+14850d&=&200\\&&&&&&&&100a+14950d&=&200\end{array}$