Pertidaksamaan Garam

Oktober 20, 2010

Pertidaksamaan Garam

Filed under: Brain Teaser, Matematika, Pertidaksamaan — Hendra Jaya @ 5:16 am

wadah

Cerita

Wadah 1, dengan kapasitas $b$ liter, diisi dengan garam sebanyak $a$ sendok.
Wadah 2, dengan kapasitas $d$ liter, diisi dengan garam sebanyak $c$ sendok.
Kedua wadah terisi penuh dengan air lalu diaduk sehingga garam larut.

Kadar ke-asin-an air di wadah 1 dinyatakan dengan $K_1=\frac{a}{b}$ dan ke-asin-an air di wadah 2 dinyatakan dengan $K_2=\frac{c}{d}$ .
Keduanya dalam satuan yang sama, yaitu $\frac{\text{sendok}}{\text{liter}}$ .

Asumsikan air di wadah 2 lebih asin air di wadah 2, yakni $K_1<K_2$ .

Wadah 3, dengan kapasitas $b+d$ liter, cukup untuk menampung air di wadah 1 dan wadah 2.

Air di wadah 1 dan di wadah 2 keduanya dituangkan ke wadah 3 lalu diaduk hingga rata. Sekarang, kita dapatkan konsentrat (kadar ke-asin-an) garam yang baru, yaitu $K_3$ .

Pertanyaan

Nyatakan konsentrat $K_3$ dalam variabel-variabel $a$ , $b$ , $c$ dan $d$ .
Bagaimana relasi $K_3$ terhadap $K_1$ dan $K_2$ ?
Carilah bilangan rasional $\frac{a}{b}$ yang memenuhi $\frac{1}{4}<\frac{a}{b}<\frac{1}{3}$ dengan syarat $b<10$ . Tentu saja $a,b\in\mathbb{Z}$ .
Carilah bilangan rasional $\frac{m}{n}$ yang memenuhi $\frac{7}{10}<\frac{m}{n}<\frac{5}{7}$ dengan syarat $n<20$ . Tentu saja $m,n\in\mathbb{Z}$ .

Pembahasan

Konsentrat yang baru $K_3$ berasal dari air sebanyak $b+d$ liter dan garam sebanyak $a+c$ sendok. Sehingga $K_3=\frac{a+c}{b+d}$ .
Secara intuitif, karena konsentrat 2 lebih asin dari konsentrat 1, yaitu $K_1<K_2$ , maka konsentrat 3 (campuran) akan lebih asin dari konsentrat 1 tetapi kalah asin dari konsentrat 2. Secara matematis $K_1<K_3<K_2$ .
Jika kita tampilkan pertidaksamaan dalam bentuk $a$ , $b$ , $c$ dan $d$ akan kita peroleh $\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}$ .
Perhatikan baik-baik pembilang dan penyebut dari setiap bagian pertidaksamaan. Menarik bukan?
Bilangan rasional yang “diapit” oleh $\frac{1}{4}$ dan $\frac{1}{3}$ dapat dicari dengan cara menjumlahkan pembilang dan menjumlahkan penyebut.
Sehingga $\frac{a}{b}=\frac{1+1}{4+3}=\frac{2}{7}$ .
Tentu saja pertidaksamaan $\frac{1}{4}<\frac{2}{7}<\frac{1}{3}$ ini benar.
Dengan cara yang sama, kita peroleh $\frac{m}{n}=\frac{7+5}{10+7}=\frac{12}{17}$ .
Tentu saja pertidaksamaan $\frac{7}{10}<\frac{12}{17}<\frac{5}{7}$ valid.

Pertidaksamaan $\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}$ berlaku umum dengan syarat $a,b,c,d>0$ dan $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ . Pembuktiannya diserahkan kepada pembaca. Selamat mencoba.