Menghitung Digit

Oktober 19, 2010

Menghitung Digit

Filed under: Matematika, Puzzle — Hendra Jaya @ 5:26 am

Problem

Bilangan $2^{123456}$ adalah bilangan yang sangat besar. Berapa digit-kah panjang bilangan ini?

Pra-pembahasan 1 (Penyederhanaan Bentuk)

Misalkan $\overline{abcd}$ adalah sebuah bilangan 4 digit. Maka berlaku pertidaksamaan berikut

$\begin{array}{rllll}1000&\leq&\overline{abcd}&\leq&9999\\1000&\leq&\overline{abcd}&<&10000\\10^3&\leq&\overline{abcd}&<&10^4\end{array}$

Atau secara umum, jika $\overline{NUMBER}$ adalah bilangan $n$ digit, maka berlaku $10^{n-1}\leq\overline{NUMBER}<10^n$ dimana $n\geq 1\text{, }n\in \mathbb{Z}$

Lebih jauh lagi, karena kita tahu bahwa $log(x)$ adalah sebuah fungsi yang monoton naik, maka berlaku :

$\begin{array}{rlllrllll}&&10^{n-1}&\leq&\overline{NUMBER}&<&10^n\\&&log(10^{n-1})&\leq&log(\overline{NUMBER})&<&log(10^n)\\(n-1)&.&log(10)&\leq&log(\overline{NUMBER})&<&n&.&log(10)\\(n-1)&.&1&\leq&log(\overline{NUMBER})&<&n&.&1\\&&n-1&\leq&log(\overline{NUMBER})&<&n\end{array}$

Pra-Pembahasan 2 : (Fungsi Lain yang Serupa)

Kita tahu ada sebuah fungsi yang definisi-nya persis dengan pertidaksamaan di atas, yaitu fungsi $floor(x)$

Definisi : $floor(x)$ di-definisikan sebagai $\lfloor x\rfloor=m\leftrightarrow m\leq x<m+1$

Atau jika dimodifikasi sedikit dengan melakukan operasi pengurangan, definisi menjadi $\lfloor x-1\rfloor=m-1\leftrightarrow m-1\leq x-1<m$

Jika kita misalkan $x-1=\overline{NUMBER}$ .

Maka kita peroleh : $\lfloor log(\overline{NUMBER})\rfloor=n-1\leftrightarrow n-1\leq log(\overline{NUMBER})<n$

Atau sederhananya $\lfloor log(\overline{NUMBER})\rfloor=n-1$

Pembahasan

Diketahui : $\overline{NUMBER}=2^{123456}$

Ditanya : $n$

Jawab :

$\begin{array}{rll}n-1&=&\lfloor log(2^{123456})\rfloor\\&=&\lfloor 123456.log(2)\rfloor\\&=&\lfloor 123456.(0.30102999)\rfloor\\&=&\lfloor 37163.95914469\rfloor\\n-1&=&37163\\n&=&37164\end{array}$

Untuk mengatasi rasa tidak percaya dari pembaca yang kurang “beriman” terhadap logika dan matematika, berikut ini penulis sediakan hasil perhitungan yang sebenarnya dari $2^{123456}$ . Silahkan hitung sendiri banyaknya digit pada angka tersebut. Pelan-pelan saja, tidak usah terburu-buru