Catatan si Jay

Oktober 19, 2010

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) & Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

Filed under: Algoritma, Matematika, Teori Bilangan — Hendra Jaya @ 7:34 am

Faktor Persekutuan Terbesar

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) di dalam bahasa Inggris disebut dengan Greatest Common Divisor (GCD). Untuk membiasakan pembaca dengan istilah yang umum dipakai di dalam matematika, artikel ini akan menggunakan GCD alih-alih FPB.

Definisi : GCD dari dua buah bilangan bulat tidak nol a dan b adalah bilangan bulat positif terbesar d yang habis membagi baik a maupun b.
Secara matematis : gcd(a,b)=max\{d|a\text{ dan }d|b,d\in\mathbb{Z_+}\}
Secara komputatif : gcd(a,b)=d

Contoh 1 :
Faktor-faktor positif (positive divisors) dari 12 adalah : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Faktor-faktor positif (positive divisors) dari 18 adalah : 1, 2, 3, 6, 9, 18
Faktor bersama (common divisors) dari 12 dan 18 adalah : 1, 2, 3, 6.
Faktor bersama yang paling besar (Greatest Common Divisor) dari 12 dan 18 adalah : 6.
gcd(12,18)=6
gcd(18,12)=6

Pada contoh di atas, 12 dan 18 memiliki beberapa faktor yang sama. Faktor-faktor tersebut adalah 1, 2, 3, dan 6. Dari ke-empat faktor bersama ini, tentu saja ada yang terbesar. Yang terbesar adalah 6. Faktor bersama yang terbesar inilah yang disebut dengan Greatest Common Divisor (GCD). Dalam contoh ini, dapat disimpulkan bahwa gcd(12,18)=6.

Contoh 2 :
Faktor-faktor positif (positive divisors) dari 15 adalah : 1, 3, 5, 15
Faktor-faktor positif (positive divisors) dari 20 adalah : 1, 2, 4, 5, 10, 20
Faktor bersama (common divisors) dari 15 dan 20 adalah : 1, 5
Faktor bersama yang paling besar (Greatest Common Divisor) dari 15 dan 20 adalah : 5.
gcd(15,20)=5
gcd(20,15)=5

Contoh 3 :
Faktor-faktor positif (positive divisors) dari 6 adalah : 1, 2, 3, 6
Faktor-faktor positif (positive divisors) dari 24 adalah : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Faktor bersama (common divisors) dari 6 dan 24 adalah : 1, 2, 3, 6
Faktor bersama yang paling besar (Greatest Common Divisor) dari 6 dan 24 adalah : 6.
gcd(6,24)=6
gcd(24, 6)=6

Contoh 4 :
Faktor-faktor positif (positive divisors) dari 10 adalah : 1, 2, 5, 10
Faktor-faktor positif (positive divisors) dari 7 adalah : 1, 7
Faktor bersama (common divisors) dari 10 dan 7 adalah : 1
Faktor bersama yang paling besar (Greatest Common Divisor) dari 10 dan 7 adalah : 1.
gcd(10,7)=1
gcd(7,10)=1

Contoh 5 :
Faktor-faktor positif (positive divisors) dari 15 adalah : 1, 3, 5, 15
Faktor-faktor positif (positive divisors) dari 10 adalah : 1, 2, 5, 10
Faktor bersama (common divisors) dari 15 dan 10 adalah : 1, 5
Faktor bersama yang paling besar (Greatest Common Divisor) dari 15 dan 10 adalah : 5.
gcd(15,10)=5
gcd(10,15)=5

Contoh 6 :
Faktor-faktor positif (positive divisors) dari 4 adalah : 1, 2, 4
Faktor-faktor positif (positive divisors) dari 9 adalah : 1, 3, 9
Faktor bersama (common divisors) dari 4 dan 9 adalah : 1
Faktor bersama yang paling besar (Greatest Common Divisor) dari 4 dan 9 adalah : 1.
gcd(4,9)=1
gcd(9,4)=1

Intermezzo : Pada contoh ke-4 dan ke-6, GCD dari 10 dan 7 dan juga GCD dari 4 dan 9 adalah 1. Di dalam dunia matematika, jika GCD dari dua buah bilangan bulat a dan b bernilai 1 maka¬† kedua bilangan tersebut dikatakan relatif prima (relatively prime). Ada juga yang menyebutnya koprima (coprime). Blog ini menggunakan istilah koprima. Tentang “mengapa” matematikawan menggunakan istilah relatif prima/koprima, tentu ada sebabnya. Hal itu belum akan kita bahas di artikel ini. Sebagai gambaran saja, hal ini memang erat kaitannya dengan bilangan prima.

Dalam teori himpunan, a dan b dikatakan koprima jika himpunan faktor-faktor a dan himpunan faktor-faktor b saling lepas. Seperti pada gambar berikut :

coprime

Perhatikan bahwa GCD bersifat komutatif, yaitu gcd(a,b)=gcd(b,a). Penulis kira hal ini sudah cukup jelas, sehingga tidak perlu disediakan ruang khusus untuk membahasnya.

Teknik Menghitung GCD

Sebelum masuk ke dalam teknik menghitung GCD. Kita akan mundur sebentar ke dalam algoritma pembagian.

Misalkan gcd(a,b)=d. Sesuai dengan definisi, d pasti habis membagi a dan juga habis membagi b. Jika definisi ini kita tuangkan ke dalam algoritma pembagian, kita akan memperoleh :
a=x.d
b=y.d

Menurut algoritma pembagian, a dapat dituliskan sebagai a=q.b+r. Arti dari persamaan ini adalah “jika a dibagi dengan b, maka kita akan memperoleh sisa bagi (remainder) r yang memenuhi 0\leq r<|b|“.

Dengan men-substitusikan persamaan a=q.b+r, kita memperoleh q.b+r=x.d

Karena kita tahu bahwa b=y.d, kita substitusikan persamaan ini sehingga mendapatkan q.y.d+r=x.d

Tidak perlu diragukan lagi, sisi kanan dari persamaan, yaitu x.d, pasti habis dibagi dengan d. Begitu pula dengan q.y.d.

Lantas, apakah r pasti habis dibagi d? Karena “temannya” r, yaitu q.y.d sudah memberikan kepastian bahwa dia pasti habis dibagi oleh d, maka mau tidak mau r pasti habis juga dibagi d. Karena r habis dibagi oleh d, berarti d adalah divisor (faktor) dari r.

Bagaimana jika d tidak habis membagi r? Itu artinya d bukan gcd dari a dan b (kontradiktif). Habis perkara.

Di paragraf sebelumnya, secara logis kita telah menyimpulkan bahwa d adalah salah satu dari sekian banyak faktor (divisor) dari r. Pertanyaan logis berikutnya adalah “Faktor (divisor) yang mana?”. Lagi-lagi, karena kita bicara soal faktor terbesar (greatest divisor), jawabannya adalah “sebesar mungkin”.

Misalkan r memiliki sekian banyak faktor positif, sebut saja r_1,r_2,r_3,...r_n. Faktor mana yang akan kita pilih? Karena kita berusaha mencari “faktor terbesar yang mungkin”, kita akan lakukan pemeriksaan mulai dari yang paling kanan, yaitu r_n,r_{n-1},...r_3,r_2,r_1. Kita akan memeriksa apakah sebuah faktor, sebut saja r_i, habis membagi b.

Pemeriksaan berakhir jika r_i alias d terbukti habis membagi b.

Mengapa hanya b? Mengapa a tidak? Kita hanya memeriksa b karena itu sudah cukup (syarat cukup) untuk menjamin bahwa a juga pasti habis dibagi oleh d. Penjelasannya adalah sebagai berikut :

Perhatikan persamaan q.b+r=a.

Karena r_i adalah faktor dari r, maka kita boleh menulis persamaan di atas menjadi q.b+n.r_i=a. Tidak perlu pusing dengan variabel-variabel “dummy” seperti q dan n. Kita tidak tertarik untuk membahasnya.

Sekarang, jika r_i habis membagi b, maka persamaan dapat kita tulis ulang menjadi q.m.r_i+n.r_i=a. Sekali lagi, abaikan semua variabel-variabel tidak penting seperti q, m dan n.

Dengan memanfaatkan sifat distributif perkalian, kita memperoleh r_i.(q.m+n)=a.

Nah, sekarang jelas terlihat bahwa a juga pasti habis dibagi oleh r_i. Dengan demikian, pemeriksaan terhadap b sudah cukup (syarat cukup) untuk meyakinkan kita bahwa a tidak perlu diperiksa lagi.

Hal ini sangat menarik. Pemeriksaan yang kita lakukan di beberapa paragraf sebelumnya sebenarnya mencari faktor bersama (common divisor) yang habis membagi baik r, maupun b. Karena pemeriksaan dilakukan dari “kanan”, maka r_i yang memenuhi kriteria ini pastilah faktor bersama yang terbesar (greatest common divisor) yang dimiliki baik oleh r, maupun oleh b.

Apa yang sebenarnya kita lakukan di beberapa paragraf sebelumnya adalah mencari GCD dari r dan b. Aneh bukan? Memang benar bahwa di awal sekali, kita ingin mencari GCD dari a dan b. Tetapi, analisa matematika membuktikan bahwa GCD dari a dan b sebenarnya sama dengan GCD dari r dan b. Dimana r adalah sisa bagi a oleh b :

\begin{array}{ccl} gcd(a, b)& =& gcd(r, b) \\ gcd(a, b)& =& gcd(b, r) \\ gcd(a, b)& =& gcd(b, mod(a, b)) \end{array}

Fenomena ini pertama kali diamati oleh Euclid sekitar 2300 tahun yang lalu dan sampai saat ini masih dipelajari di sekolah-sekolah dan kampus-kampus di seluruh dunia.

Teknik pencarian GCD dari a dan b yang diajukan oleh Euclid adalah sebagai berikut :

  1. Jika b=0, maka GCD dari a dan b adalah a.
  2. Jika b\neq 0, maka :
    1. Carilah r, yaitu sisa bagi a oleh b.
    2. Anggap b sebagai a dan r sebagai b.
    3. Kembali ke step 1

Contoh 1 (lagi) : Menghitung gcd(12,18)

  • a = 12, b = 18.
  • Karena 18 \neq 0, maka :
  • 12 = 0.18 + 12, sehingga r = 12.
    • a = 18, b = 12
    • Karena 12 \neq 0, maka :
    • 18 = 1.12 + 6, sehingga r = 6
      • a = 12, b = 6
      • Karena 6 \neq 0, maka :
      • 12 = 2.6 + 0, sehingga r = 0
        • a = 6, b = 0
        • Karena 0 = 0, maka hasilnya adalah 6.

Secara grafis :

gcd

Contoh 2 (lagi) : Menghitung gcd(15, 20)

  • a = 15, b = 20.
  • Karena 20 \neq 0, maka :
  • 15 = 0.20 + 15, sehingga r = 15.
    • a = 20, b = 15
    • Karena 15 \neq 0, maka :
    • 20 = 1.15 + 5, sehingga r = 5
      • a = 15, b = 5
      • Karena 5 \neq 0, maka :
      • 15 = 3.5 + 0, sehingga r = 0
        • a = 5, b = 0
        • Karena 0 = 0, maka hasilnya adalah 5.

Secara grafis :

gcd

Contoh 3 (lagi) : Menghitung gcd(6, 24)

  • a = 6, b = 24.
  • Karena 24 \neq 0, maka :
  • 6 = 0.24 + 6, sehingga r = 6.
    • a = 24, b = 6
    • Karena 6 \neq 0, maka :
    • 24 = 4.6 + 0, sehingga r = 0
      • a = 6, b = 0
      • Karena 0 = 0, maka hasilnya adalah 6.

Secara grafis :

gcd

Contoh 4 (lagi) : Menghitung gcd(10, 7)

  • a = 10, b = 7.
  • Karena 7 \neq 0, maka :
  • 10 = 1.7 + 3, sehingga r = 3.
    • a = 7, b = 3
    • Karena 3 \neq 0, maka :
    • 7 = 2.3 + 1, sehingga r = 1
      • a = 3, b = 1
      • Karena 1 \neq 0, maka :
      • 3 = 3.1 + 0, sehingga r = 0
        • a = 1, b = 0
        • Karena 0 = 0, maka hasilnya adalah 1.

Secara grafis :

gcd

Contoh 5 (lagi) : Menghitung gcd(15, 10)

  • a = 15, b = 10.
  • Karena 10 \neq 0, maka :
  • 15 = 1.10 + 5, sehingga r = 5.
    • a = 10, b = 5
    • Karena 5 \neq 0, maka :
    • 10 = 2.5 + 0, sehingga r = 0
      • a = 5, b = 0
      • Karena 0 = 0, maka hasilnya adalah 5.

Secara grafis :

gcd

Contoh 6 (lagi) : Menghitung gcd(4, 9)

  • a = 4, b = 9.
  • Karena 9 \neq 0, maka :
  • 4 = 0.9 + 4, sehingga r = 4.
    • a = 9, b = 4
    • Karena 4 \neq 0, maka :
    • 9 = 2.4 + 1, sehingga r = 1
      • a = 4, b = 1
      • Karena 1 \neq 0, maka :
      • 4 = 4.1 + 0, sehingga r = 0
        • a = 1, b = 0
        • Karena 0 = 0, maka hasilnya adalah 1.

Secara grafis :

gcd

Better Luck Next Year

Satu pertanyaan yang paling sering dilontarkan adalah : “Mengapa b dianggap a dan r dianggap b?”.

Sebenarnya, teknik asli yang dilontarkan oleh Euclid mengharuskan a \geq b. Jika ternyata ditemukan bahwa a < b, maka Euclid mengharuskan kedua bilangan itu dipertukarkan. Ingat bahwa gcd adalah sebuah fungsi yang komutatif dimana gcd(a,b)=gcd(b,a) sehingga mempertukarkan posisi a dengan b tidak akan mengubah hasil perhitungan.

Akan tetapi, dengan majunya ilmu komputasi, “penganggapan” b sebagai a dan r sebagai b, terbukti lebih efisien karena kita tidak perlu pusing-pusing memeriksa apakah a \geq b.
Hal ini dapat dijelaskan melalui algoritma pembagian yang telah memberikan kepastian bahwa 0\leq r<|b|. Sehingga, step untuk memeriksa invarian (relasi) a\geq b tidak perlu dilakukan lagi.

Bagaimana jika salah satu atau keduanya dari a dan b adalah bilangan negatif?

Hal ini juga sangat sering ditanyakan. Pembahasan tentang pertanyaan ini akan kita tunda dulu. Pembahasan lengkapnya akan kita bahas di artikel “Sifat-sifat GCD dan LCM”. Ide utamanya adalah bilangan negatif merupakan suatu perkalian bilangan positif dengan -1.

Kelipatan Persekutuan Terkecil

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) di dalam bahasa Inggris dikenal dengan nama Least Common Multiple (LCM). Sama seperti GCD, blog ini akan membiasakan pembaca untuk menggunakan istilah yang lazim dipakai. Oleh karena itu blog ini akan menggunakan istilah LCM.

Definisi : LCM dari dua buah bilangan bulat a dan b adalah bilangan bulat positif terkecil yang merupakan kelipatan bersama dari a dan b.
Secara matematis : lcm(a,b)=\frac{|a.b|}{gcd(a, b)}
Secara komputatif : lcm(a, b)=\frac{abs(a.b)}{gcd(a, b)}
Catatan : definisi asli dari LCM menggunakan “bilangan rasional”. Artikel ini menyederhanakan definisi tersebut ke dalam “bilangan bulat” agar lebih mudah dipahami.

Contoh 1 :
Kelipatan (multiple) dari 12 adalah : 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, …
Kelipatan (multiple) dari 18 adalah : 18, 36, 54, 72, 90, 108, …
Kelipatan bersama (common multiple) dari 12 dan 18 adalah : 36, 72, 108, …
Kelipatan bersama yang paling kecil (Least Common Multiple) dari 12 dan 18 adalah : 36.
lcm(12,18)=36
lcm(18,12)=36

Pada contoh di atas, 12 dan 18 memiliki banyak kelipatan yang sama. Kelipatan-kelipatan tersebut adalah 36, 72, 108, …. Dari semua kelipatan-kelipatan ini, yang terkecil adalah 36. Kelipatan bersama yang terkecil inilah yang disebut dengan Least Common Multiple (LCM). Dalam contoh ini, terlihat bahwa lcm(12,18)=36.

Contoh 2 :
Kelipatan (multiple) dari 15 adalah : 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, 195, …
Kelipatan (multiple) dari 20 adalah : 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, 240, …
Kelipatan bersama (common multiple) dari 15 dan 20 adalah : 60, 120, 180, …
Kelipatan bersama yang paling kecil (Least Common Multiple) dari 15 dan 20 adalah : 60.
lcm(15,20)=60
lcm(20,15)=60

Contoh 3 :
Kelipatan (multiple) dari 6 adalah : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, …
Kelipatan (multiple) dari 24 adalah : 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, …
Kelipatan bersama (common multiple) dari 6 dan 24 adalah : 24, 48, 72, …
Kelipatan bersama yang paling kecil (Least Common Multiple) dari 6 dan 24 adalah : 24.
lcm(6,24)=24
lcm(24,6)=24

Contoh 4 :
Kelipatan (multiple) dari 10 adalah : 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, 160, 170, 180, 190, 200, 210, …
Kelipatan (multiple) dari 7 adalah : 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 133, 140, 147, …
Kelipatan bersama (common multiple) dari 10 dan 7 adalah : 70, 140, 210, …
Kelipatan bersama yang paling kecil (Least Common Multiple) dari 10 dan 7 adalah : 70.
lcm(10,7)=70
lcm(7,10)=70

Contoh 5 :
Kelipatan (multiple) dari 15 adalah : 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, …
Kelipatan (multiple) dari 10 adalah : 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, …
Kelipatan bersama (common multiple) dari 15 dan 10 adalah : 30, 60, 90, …
Kelipatan bersama yang paling kecil (Least Common Multiple) dari 15 dan 10 adalah : 30.
lcm(15,10)=30
lcm(10,15)=30

Contoh 6 :
Kelipatan (multiple) dari 4 adalah : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, …
Kelipatan (multiple) dari 9 adalah : 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, …
Kelipatan bersama (common multiple) dari 4 dan 9 adalah : 36, 72, 108, …
Kelipatan bersama yang paling kecil (Least Common Multiple) dari 4 dan 9 adalah : 36.
lcm(4,9)=36
lcm(9,4)=36

Sama seperti GCD, LCM juga bersifat komutatif (dapat dipertukarkan tanpa mengurangi kebenarannya). Yaitu lcm(a,b)=lcm(b,a).

Secara matematis, untuk menghitung LCM dari dua buah bilangan bulat a dan b dapat dilakukan dengan mengikuti rumus lcm(a,b)=\frac{|a.b|}{gcd(a,b)}
Hal ini sangat mudah dilakukan karena sebelumnya kita telah mengetahui teknik pencarian gcd(a,b) ala Euclid.

Secara komputatif, untuk menghitung LCM dilakukan dengan invarian lcm(a,b)=\frac{abs(a.b)}{gcd(a,b)}

Contoh 1 (lagi) :
lcm(12,18)=\frac{|12.18|}{gcd(12,18)}=\frac{216}{6}=36

Contoh 2 (lagi) :
lcm(15,20)=\frac{|15.20|}{gcd(15,20)}=\frac{300}{5}=60

Contoh 3 (lagi) :
lcm(6,24)=\frac{|6.24|}{gcd(6,24)}=\frac{144}{6}=24

Contoh 4 (lagi) :
lcm(10,7)=\frac{|10.7|}{gcd(10,7)}=\frac{70}{1}=70

Contoh 5 (lagi) :
lcm(15,10)=\frac{|15.10|}{gcd(15,10)}=\frac{150}{5}=30

Contoh 6 (lagi) :
lcm(4,9)=\frac{|4.9|}{gcd(4,9)}=\frac{36}{1}=36

Sebenarnya penulis tidak terlalu tertarik untuk membahas asal muasal datangnya rumus LCM ini. Tetapi, untuk mengantisipasi keingintahuan pembaca. Berikut akan dipaparkan asal muasal rumus LCM.

Misalkan gcd(a,b)=d dan lcm(a,b)=e.
Maka a dan b bisa ditulis ulang menjadi :

a=x.d

b=y.d

gcd(x,y)=1

Intermezzo : Mengapa gcd(x,y)=1?
Untuk menjawabnya, penulis akan membuktikan dengan metode kontradiktif. Asumsikan gcd(x,y)=n, dimana n>1. Sehingga :

x=t.n

y=u.n

akibatnya,

a=x.d=t.n.d

b=y.d=u.n.d

dan dengan demikian, gcd(a,b)=n.d

Kalimat di atas secara langsung mengatakan bahwa GCD dari a dan b bukanlah d, melainkan n.d. Dimana n.d>d karena n>1.
Suatu kontradiktif yang mengakibatkan asumsi kita salah.

Dengan demikian gcd(x,y) haruslah 1. Dalam diagram venn dinyatakan sebagai himpunan yang saling lepas.

Sekarang kita lanjutkan ke pembahasan asal muasal rumus LCM…

Nilai e terkecil yang habis membagi x.d dan y.d adalah x.y.d. Mengapa x.y.d? Sukar untuk dijelaskan dengan kata-kata. Biarkan diagram venn di bawah ini yang berbicara :D

x adalah yang berwarna cyan (telor asin)

d adalah yang berwarna pink (merah jambu)

y adalah yang berwarna purple (ungu)

lcm

Nilai e setidak-tidaknya harus dapat membagi x, y, dan d. Sehingga e haruslah merupakan perkalian ketiganya, yaitu x.y.d

\begin{array}{lll}lcm(a,b)&=&x.y.d\\&=&\frac{x.y.d^2}{d}\\&=&\frac{x.d.y.d}{gcd(a,b)}\\&=&\frac{a.b}{gcd(a,b)}\end{array}

Mengingat lcm(a,b) adalah bilangan bulat positif, maka sisi kanan haruslah positif juga.

Karena penyebut dari sisi kanan, yaitu gcd(a,b), pasti bilangan positif, maka ke-positif-an pembilangnya harus dipastikan dengan fungsi abs(x).

\therefore lcm(a,b)=\frac{abs(a.b)}{gcd(a,b)}

Obat Ngantuk

  1. BintangBintang Rancanglah algoritma untuk mencari GCD dari himpunan bilangan bulat S={a,b,c,d,...}, dimana |S|\geq 2.
    Notasi |S| menyatakan kardinalitas (jumlah elemen) dari himpunan.
  2. BintangBintang Rancanglah algoritma untuk mencari LCM dari himpunan bilangan bulat S={a,b,c,d,...}, dimana |S|\geq 2.
    Notasi |S| menyatakan kardinalitas (jumlah elemen) dari himpunan.

You Don't Trust Management

About these ads

3 Komentar »

  1. Luar biasaa… ada anak IF menuliskan Euclid’s algorithm dengan lengkap, pake 6 contoh segala, di dalam blognya..

    Untuk obat ngantuknya… FPB(a,b,c) = FPB(FPB(a,b),c) aja… Recursively done, daripada males mikirin caranya :D

    Komentar oleh Zakka — Oktober 20, 2010 @ 5:51 am

    • Hehe.
      Makasih udah berkunjung.

      Btw, ini Zakka Fauzan IF’04 ya? Nulis Euclid’s algorithm di blog (sepertinya) akan banyak membantu siswa/mahasiswa yang sedang belajar algoritma Rekursif ataupun cara menghitung FPB. Karena kita (sepertinya) cukup kompeten dalam hal itu, ada baiknya dituliskan.

      Tentang obat ngantuknya. Iya benar. Algoritma rekursif memang jawaban yang diinginkan. Dimana base case-nya ada 2, yaitu saat FPB sudah mencapai nilai 1 ataupun saat anggota himpunan habis.

      Komentar oleh Hendra Jaya — Oktober 20, 2010 @ 6:37 am

      • Yup ini Zakka Fauzan IF’04…

        Komentar oleh Zakka — November 7, 2010 @ 4:18 pm


Umpan RSS untuk komentar-komentar pada tulisan ini. TrackBack URI

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

The Shocking Blue Green Theme. Blog pada WordPress.com.

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: