Diophantine Sangat Sederhana Sekali

Oktober 13, 2010

Diophantine Sangat Sederhana Sekali

Filed under: Matematika, Puzzle — Hendra Jaya @ 8:12 am

Soal

Tunjukkan bahwa persamaan $x^2 - y^2 = a^3$ selalu memiliki solusi bilangan bulat x dan y untuk sembarang bilangan bulat positif a. Sebagai contoh, untuk a = 5 kita menemukan solusi x = 15 dan y = 10 yang memenuhi persamaan di atas.

Pembahasan

Kita jabarkan persamaan ini menjadi :

$\begin{array}{cccllll} x^2& -& y^2& =& a^3 \\ (x-y)& .& (x+y)& =& a^3 \\ (x-y)& .& (x+y)& =& a& .& a^2 \end{array}$

Asumsikan $x - y = a$ sehingga $x + y = a^2$

Catatan 1 : Ada masukan dari seorang teman bahwa terdapat missing link di sekitar sini. Masukan yang sangat berharga tentunya. Missing link yang dimaksud adalah sebagai berikut :
Untuk setiap bilangan bulat positif n, kita memiliki sejumlah faktor/divisor dari bilangan tersebut. Secara matematis dikatakan himpunan bilangan bulat positif yang merupakan faktor dari n adalah $N=\{n_1,n_2,n_3,...,n_k\}$ .
Sebagai contoh himpunan bilangan bulat positif yang merupaka faktor dari 12 adalah $N=\{1,2,3,4,6,12\}$ .
Kita tidak bisa tahu secara lengkap apa saja faktor-faktor dari $a^3$ , dimana a adalah bilangan bulat positif. Tetapi kita yakin bahwa $\{1,a,a^2,a^3\}$ adalah sebagian dari faktor-faktor tersebut (himpunan bagian dari N).

Asumsi ini boleh dilakukan karena setiap bilangan bulat positif a (tentu saja) dapat dibentuk dari hasil pengurangan dua buah bilangan bulat yang lain, yaitu x dan y. Sekarang kita akan mencari tahu apakah mungkin penjumlahan x dan y menghasilkan nilai $a^2$ . Jika tidak mungkin, di dalam penjabaran kita akan menemukan sesuatu yang kontradiktif. Jika penjabaran tidak menemukan sesuatu yang kontradiktif, maka asumsi kita berlaku.

$\begin{array}{llllcr} x& -& y& =& a \\ x& +& y& =& a^2 \\ -& -& -& -& ---& + \\ & & 2x& =& a^2 + a \\ & & 2x& =& a(a + 1) \\ & & x& =& \frac{a(a + 1)}{2} \end{array}$

Sekarang, apakah x adalah bilangan bulat? Mari kita periksa pembilang dan penyebut dari sisi kanan persamaan. Kita tahu pasti bahwa a adalah bilangan bulat positif sehingga a + 1 juga merupakan bilangan bulat positif. Dengan demikian pembilang adalah bilangan bulat positif dan penyebut (yaitu 2, jelas sekali) adalah bilangan bulat positif. Tetapi, apakah penyebut habis membagi pembilang? Sebenarnya, salah satu dari dua buah bilangan bulat yang berturutan seperti a dan a + 1 pasti merupakan bilangan genap dan lainnya ganjil. Sebagai contoh, 5 dan 6 adalah ganjil dan genap. Contoh lainnya adalah 6 dan 7, yaitu genap dan ganjil. Penjelasan secara matematisnya adalah dengan berdasarkan algoritma pembagian dan modulo sebagai berikut :

Misalkan a adalah ganjil, dalam bentuk $a = 2p + 1$ . Dengan demikian kita peroleh a + 1 adalah bilangan genap melalui penjabaran berikut :

$\begin{array}{lllll} a& & & =& 2p + 1 \\ a& +& 1& =& 2p + 1 + 1 \\ a& +& 1& =& 2p + 2 \\ a& +& 1& =& 2(p + 1) \end{array}$ .

Perkalian dari a dan a + 1 dapat dinyatakan sebagai :

$\begin{array}{cll} a.(a+1)& =& (2p + 1).2(p + 1)\\ a.(a+1)& =& 2.(2p + 1)(p + 1)\\ \frac{a.(a+1)}{2}& =& (2p + 1)(p + 1) \end{array}$

Dengan demikian perkalian dari a dan a + 1 pasti habis dibagi oleh 2.

Sebaliknya jika a adalah genap, maka a + 1 ganjil. Tidak perlu dijabarkan lagi. Pasti perkalian a dan a + 1 habis dibagi oleh 2.

Karena $a.(a + 1)$ pasti habis dibagi oleh 2, maka $\frac{a(a + 1)}{2}$ pasti menghasilkan bilangan bulat. Dengan demikian nilai x adalah bilangan bulat (valid).

Dengan men-substitusikan nilai x yang valid ini kita peroleh :
$\begin{array}{cllll} x& +& y& =& a^2 \\ \frac{a(a+1)}{2}& +& y& =& a^2 \\ a(a+1)& +& 2y& =& 2a^2 \\ a^2 + a& +& 2y& =& 2a^2 \\ a& +& 2y& =& a^2 \\ & & 2y& =& a^2 - a \\ & & 2y& =& a(a - 1) \\ & & y& =& \frac{a(a - 1)}{2} \end{array}$

Apakah y adalah bilangan bulat? Sekali lagi, karena a – 1 dan a adalah dua buah bilangan bulat yang berturutan maka salah satu dari a – 1 ataupun a adalah genap dan yang lainnya ganjil. Dengan demikian perkalian antara a – 1 dan a pasti habis dibagi oleh 2. Alhasil, nilai y pun pasti berupa bilangan bulat.

Dengan demikian, persamaan $x^2 - y^2 = a^3$ selalu memiliki minimal satu solusi bilangan bulat x dan y.
Yaitu dengan mengambil nilai $x = \frac{a(a + 1)}{2}$ dan mengambil nilai $y = \frac{a(a - 1)}{2}$ .

Catatan 2 : Perhatikan bahwa penulis mencetak tebal frase “minimal satu” pada paragraf di atas. Ini dimaksudkan untuk menekankan kepada pembaca bahwa solusi yang memenuhi mungkin saja lebih dari satu. Ingat bahwa kita hanya mengambil sepasang faktor/divisor dari $a^3$ . Walaupun solusi mungkin tidak lengkap, tetapi satu solusi sudah cukup (syarat cukup) untuk meyakinkan diri bahwa persamaan $x^2 - y^2 = a^3$ selalu memiliki solusi untuk x dan y.

Satu pertanyaan yang mengganjal adalah “Apakah boleh kita mengambil asumsi $x - y = a^2$ dan $x + y = a$ ?” Boleh-boleh saja. Asalkan tidak kontradiktif. Untuk penjabarannya diserahkan kepada pembaca. Selamat mencoba