Beberapa Fungsi Dasar : absolute, floor, ceil dan mod

September 23, 2010

Beberapa Fungsi Dasar : absolute, floor, ceil dan mod

Filed under: Matematika, Teori Bilangan — Hendra Jaya @ 9:07 am

Fungsi abs(x)

Definisi : abs(x) adalah fungsi yang akan mengembalikan bentuk tidak negatif dari sebuah bilangan real ( $\mathbb{R}$ ) x.
Secara matematis dinyatakan dengan $|x| = \begin{cases} x, & \mbox{jika } x \geq 0 \\ -x, & \mbox{jika } x<0 \end{cases}$
Secara komputatif dinyatakan dengan : $abs(x)$

Fungsi floor(x)

Definisi : floor(x) adalah fungsi yang akan mengembalikan bilangan bulat ( $\mathbb{Z}$ ) terbesar yang tidak lebih besar dari bilangan real ( $\mathbb{R}$ ) x.
Secara matematis dinyatakan dengan : $\lfloor x \rfloor = max\{m \in \mathbb{Z}, m \leq x\}$
Secara komputatif dinyatakan dengan $floor(x)$

Secara logis, persamaan $\lfloor x \rfloor = m$ , ekivalen (jika dan hanya jika) dengan pertidaksamaan-pertidaksamaan di bawah ini :

$\begin{array}{lllllllll} \lfloor x \rfloor = m & \leftrightarrow & x - 1 & < & m & \leq & x \\ \lfloor x \rfloor = m & \leftrightarrow & & & m & \leq & x & < & m + 1 \\ \lfloor x \rfloor = m & \leftrightarrow & x - 1 & < & m & \leq & x & < & m + 1 \end{array}$

Gunakan garis bilangan untuk memahami pertidaksamaan-pertidaksamaan di atas.

Fungsi ceil(x)

Definisi : ceil(x) adalah fungsi yang akan mengembalikan bilangan bulat ( $\mathbb{Z}$ ) terkecil yang tidak lebih kecil dari bilangan real ( $\mathbb{R}$ ) x.
Secara matematis dinyatakan dengan : $\lceil x \rceil = min\{n \in \mathbb{Z}, n \geq x\}$
Secara komputatif dinyatakan dengan $ceil(x)$

Secara logis, persamaan $\lceil x \rceil = n$ , ekivalen (jika dan hanya jika) dengan pertidaksamaan-pertidaksamaan di bawah ini :

$\begin{array}{lllllllll} \lceil x \rceil = n & \leftrightarrow & n - 1 & < & x & \leq & n \\ \lceil x \rceil = n & \leftrightarrow & & & x & \leq & n & < & x + 1 \\ \lceil x \rceil = n & \leftrightarrow & n - 1 & < & x & \leq & n & < & x + 1 \end{array}$

Gunakan garis bilangan untuk memahami pertidaksamaan-pertidaksamaan di atas.

Relasi floor(x) dan ceil(x)

Di dalam garis bilangan floor(x) dan ceil(x) memiliki relasi ketidaksamaan sebagai berikut :

$\begin{array}{llclllcll} x - 1 & < & m & \leq & x & \leq & n & < & x + 1 \\ x - 1 & < & \lfloor x \rfloor & \leq & x & \leq & \lceil x \rceil & < & x + 1 \\ x - 1 & < & floor(x) & \leq & x & \leq & ceil(x) & < & x + 1 \end{array}$

Quotient (hasil bagi) dalam algoritma pembagian

Blog ini mengikuti algoritma pembagian euclidean dan mengikuti definisi q (quotient/hasil bagi) yang diajukan oleh Raymond T. Boute. Pemakaian definisi q yang ini dilakukan karena definisi yang diberikan oleh Pak Boute selaras dengan algoritma pembagian euclid. Sebagai intermezzo, ada beberapa definisi q yang diajukan. Antara lain truncated division yang populer serta floored division yang diajukan oleh Donald Knuth. Untuk lebih jelasnya, silahkan pembaca lihat di sini.

Menurut euclidean definition, quotient (q) adalah :

$q = \begin{cases} \lfloor \frac{a}{d} \rfloor, & \mbox{jika } d > 0 \\ \lceil \frac{a}{d} \rceil, & \mbox{jika } d < 0 \end{cases}$

Fungsi mod(x, y)

Fungsi mod(x, y) sangat erat kaitannya dengan r (remainder/sisa bagi). Walaupun demikian, mod(x, y) berbeda dengan r. Dua perbedaan yang paling mencolok adalah :

Remainder (r) adalah suatu bilangan bulat tidak negatif sementara mod(x, y) boleh negatif. Ingat bahwa r harus memenuhi konstrain $0 \leq r < |d|$
Di dalam signed integer alias bilangan bertanda (+/-), perbedaan ini akan langsung terasa. Implementasi fungsi mod(x, y) antara bahasa pemrograman yang satu dengan yang lain berbeda-beda. Silahkan lihat dokumentasi bahasa pemrograman favorit anda.
Remainder (r) didefinisikan sebagai sisa bagi dari dua buah bilangan bulat sementara mod(x, y) menerima bilangan real $x, y \in \mathbb{R}$

Definisi mod(x, y) yang dipakai dalam blog ini mengikuti definisi Donald Knuth : $mod(x, y) = x - y\lfloor \frac{x}{y} \rfloor$

Di dalam garis bilangan, berlaku pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut :

Untuk $y > 0$ :
$0 \leq mod(x, y) < y$

Untuk $y < 0$ :
$0 \geq mod(x, y) > y$

Serupa dengan remainder, mod(x, y) bernilai 0 jika dan hanya jika y habis membagi x.

Catatan

Sangat mungkin terjadi perselisihan pendapat, terutama tentang quotient (q), remainder (r) dan mod(x, y). Oleh karena itu berbagai ralat, kritik, masukan dan tanggapan sangat diharapkan.

Duty Calls